Question

Un triángulo tiene vértices $A(0, 0),$ $B(12, 0),$ y $C(8, 10).$ La probabilidad de que un punto elegido al azar dentro del triángulo esté más cerca del vértice $B$ que del vértice $A$ o del vértice $C$ puede escribirse como $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $p + q.$

A triangle has vertices $A(0, 0),$ $B(12, 0),$ and $C(8, 10).$ The probability that a randomly chosen point inside the triangle is closer to vertex $B$ than to either vertex $A$ or vertex $C$ can be written as $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q.$

Respuesta

Solución:

Los puntos más cercanos a $B$ que a $A$ están a la derecha de la mediatriz de $\overline{AB},$ la recta $x = 6.$ Los puntos más cercanos a $B$ que a $C$ están por debajo de la mediatriz de $\overline{BC},$ que pasa por el punto medio $(10, 5)$ con pendiente $\frac{2}{5}$ (el recíproco negativo de la pendiente $-\frac{5}{2}$ de $BC$ ): la recta $y = \frac{2}{5}x + 1.$

Dentro del triángulo, la región favorable es el cuadrilátero con vértices $(6, 0),$ $B(12, 0),$ el punto medio $(10, 5)$ de $\overline{BC},$ y $\left(6, \frac{17}{5}\right),$ donde se encuentran las dos mediatrices. Dividiéndolo a lo largo del segmento de $(6, 0)$ a $(10, 5),$ su área es $\begin{aligned} &\frac{1}{2} \cdot \frac{17}{5} \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \\ &= \frac{34}{5} + 15 \\ &= \frac{109}{5}. \end{aligned}$

El triángulo tiene área $\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 = 60,$ así que la probabilidad es $\frac{109/5}{60} = \frac{109}{300},$ y $p + q = 109 + 300 = 409.$

The points closer to $B$ than to $A$ lie to the right of the perpendicular bisector of $\overline{AB},$ the line $x = 6.$ The points closer to $B$ than to $C$ lie below the perpendicular bisector of $\overline{BC},$ which passes through the midpoint $(10, 5)$ with slope $\frac{2}{5}$ (the negative reciprocal of the slope $-\frac{5}{2}$ of $BC$ ): the line $y = \frac{2}{5}x + 1.$

Inside the triangle, the favorable region is the quadrilateral with vertices $(6, 0),$ $B(12, 0),$ the midpoint $(10, 5)$ of $\overline{BC},$ and $\left(6, \frac{17}{5}\right),$ where the two bisectors meet. Splitting it along the segment from $(6, 0)$ to $(10, 5),$ its area is $\begin{aligned} &\frac{1}{2} \cdot \frac{17}{5} \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \\ &= \frac{34}{5} + 15 \\ &= \frac{109}{5}. \end{aligned}$

The triangle has area $\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 = 60,$ so the probability is $\frac{109/5}{60} = \frac{109}{300},$ and $p + q = 109 + 300 = 409.$

2017 AIME II Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años