Question

Sea $m$ el menor entero positivo divisible entre $17$ cuyos dígitos suman $17.$ Halla $m.$

Let $m$ be the least positive integer divisible by $17$ whose digits sum to $17.$ Find $m.$

Respuesta

Solución:

Todo número es congruente con la suma de sus dígitos módulo $9,$ así que $m = 17n$ debe cumplir $17n \equiv 17 \pmod 9,$ es decir $8n \equiv 8 \pmod 9,$ lo que da $n \equiv 1 \pmod 9.$

Revisando los candidatos en orden creciente: $n = 1, 10, 19$ dan $17,$ $170,$ $323,$ con suma de dígitos $8$ cada uno, pero $n = 28$ da $17 \cdot 28 = 476$ con suma de dígitos $4 + 7 + 6 = 17.$ Así que $m = 476.$

Every number is congruent to its digit sum modulo $9,$ so $m = 17n$ must satisfy $17n \equiv 17 \pmod 9,$ that is $8n \equiv 8 \pmod 9,$ which gives $n \equiv 1 \pmod 9.$

Checking the candidates in increasing order: $n = 1, 10, 19$ give $17,$ $170,$ $323,$ with digit sums $8$ each, but $n = 28$ gives $17 \cdot 28 = 476$ with digit sum $4 + 7 + 6 = 17.$ So $m = 476.$

2015 AIME II Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años