Soluciones del 2015 AIME II | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Sea $N$ el menor entero positivo que es a la vez $22$ por ciento menor que un entero y $16$ por ciento mayor que otro entero. Halla el residuo cuando $N$ se divide entre $1000.$

Let $N$ be the least positive integer that is both $22$ percent less than one integer and $16$ percent greater than another integer. Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:porcentaje divisibilidad mínimo común múltiplo

Nivel de dificultad: 2050

Solución:

Las condiciones dicen que $N = \frac{78}{100}a = \frac{39}{50}a$ y $N = \frac{116}{100}b = \frac{29}{25}b$ para ciertos enteros $a$ y $b.$ Como $\gcd(39, 50) = 1,$ la primera ecuación obliga a $50 \mid a,$ así que $N$ es múltiplo de $39;$ como $\gcd(29, 25) = 1,$ la segunda obliga a $25 \mid b,$ así que $N$ es múltiplo de $29.$

El menor entero positivo divisible por ambos es $N = 39 \cdot 29 = 1131,$ que se alcanza con $a = 1450$ y $b = 975.$ El residuo al dividir entre $1000$ es $131.$

The conditions say $N = \frac{78}{100}a = \frac{39}{50}a$ and $N = \frac{116}{100}b = \frac{29}{25}b$ for some integers $a$ and $b.$ Since $\gcd(39, 50) = 1,$ the first equation forces $50 \mid a,$ so $N$ is a multiple of $39;$ since $\gcd(29, 25) = 1,$ the second forces $25 \mid b,$ so $N$ is a multiple of $29.$

The least positive integer divisible by both is $N = 39 \cdot 29 = 1131,$ achieved with $a = 1450$ and $b = 975.$ The remainder upon division by $1000$ is $131.$

2.

En una nueva escuela, el $40$ por ciento de los estudiantes son de primer año, el $30$ por ciento son de segundo año, el $20$ por ciento son de tercer año y el $10$ por ciento son de cuarto año. Todos los de primer año deben cursar latín, y el $80$ por ciento de los de segundo año, el $50$ por ciento de los de tercer año y el $20$ por ciento de los de cuarto año eligen cursar latín. La probabilidad de que un estudiante de latín elegido al azar sea de segundo año es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

In a new school $40$ percent of the students are freshmen, $30$ percent are sophomores, $20$ percent are juniors, and $10$ percent are seniors. All freshmen are required to take Latin, and $80$ percent of the sophomores, $50$ percent of the juniors, and $20$ percent of the seniors elect to take Latin. The probability that a randomly chosen Latin student is a sophomore is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:probabilidad condicional porcentaje

Nivel de dificultad: 1750

Solución:

Supón que la escuela tiene $100$ estudiantes. Los estudiantes de latín son entonces $40$ de primer año, $30(0.8) = 24$ de segundo año, $20(0.5) = 10$ de tercer año y $10(0.2) = 2$ de cuarto año, para un total de $76.$

La probabilidad de que un estudiante de latín al azar sea de segundo año es $\frac{24}{76} = \frac{6}{19},$ así que $m + n = 6 + 19 = 25.$

Assume the school has $100$ students. The Latin students are then $40$ freshmen, $30(0.8) = 24$ sophomores, $20(0.5) = 10$ juniors, and $10(0.2) = 2$ seniors, for a total of $76.$

The probability that a random Latin student is a sophomore is $\frac{24}{76} = \frac{6}{19},$ so $m + n = 6 + 19 = 25.$

3.

Sea $m$ el menor entero positivo divisible entre $17$ cuyos dígitos suman $17.$ Halla $m.$

Let $m$ be the least positive integer divisible by $17$ whose digits sum to $17.$ Find $m.$

Respuesta

Conceptos:dígitos aritmética modular enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 2070

Solución:

Todo número es congruente con la suma de sus dígitos módulo $9,$ así que $m = 17n$ debe cumplir $17n \equiv 17 \pmod 9,$ es decir $8n \equiv 8 \pmod 9,$ lo que da $n \equiv 1 \pmod 9.$

Revisando los candidatos en orden creciente: $n = 1, 10, 19$ dan $17,$ $170,$ $323,$ con suma de dígitos $8$ cada uno, pero $n = 28$ da $17 \cdot 28 = 476$ con suma de dígitos $4 + 7 + 6 = 17.$ Así que $m = 476.$

Every number is congruent to its digit sum modulo $9,$ so $m = 17n$ must satisfy $17n \equiv 17 \pmod 9,$ that is $8n \equiv 8 \pmod 9,$ which gives $n \equiv 1 \pmod 9.$

Checking the candidates in increasing order: $n = 1, 10, 19$ give $17,$ $170,$ $323,$ with digit sums $8$ each, but $n = 28$ gives $17 \cdot 28 = 476$ with digit sum $4 + 7 + 6 = 17.$ So $m = 476.$

4.

En un trapecio isósceles, las bases paralelas tienen longitudes $\log 3$ y $\log 192,$ y la altura sobre estas bases tiene longitud $\log 16.$ El perímetro del trapecio se puede escribir en la forma $\log 2^p 3^q,$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos. Halla $p + q.$

In an isosceles trapezoid, the parallel bases have lengths $\log 3$ and $\log 192,$ and the altitude to these bases has length $\log 16.$ The perimeter of the trapezoid can be written in the form $\log 2^p 3^q,$ where $p$ and $q$ are positive integers. Find $p + q.$

Respuesta

Conceptos:logaritmo trapecio Terna pitagórica

Nivel de dificultad: 2170

Solución:

Al trazar alturas desde los extremos de la base corta, cada lado no paralelo es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son la altura $\log 16 = 4\log 2$ y la mitad de la diferencia de las bases, $\frac{1}{2}(\log 192 - \log 3)$ $= \frac{1}{2}\log 64$ $= 3 \log 2.$ Por la razón $3$ - $4$ - $5$ , cada lado no paralelo tiene longitud $5 \log 2.$

El perímetro es $\begin{aligned} &\log 3 + \log 192 + 2 \cdot 5\log 2 \\ &= \log(3 \cdot 192) + \log 2^{10} \\ &= \log(2^6 3^2) + \log 2^{10} \\ &= \log 2^{16} 3^2, \end{aligned}$ así que $p + q = 16 + 2 = 18.$

Dropping altitudes from the ends of the short base, each leg is the hypotenuse of a right triangle whose legs are the altitude $\log 16 = 4\log 2$ and half the difference of the bases, $\frac{1}{2}(\log 192 - \log 3)$ $= \frac{1}{2}\log 64$ $= 3 \log 2.$ By the $3$ - $4$ - $5$ ratio, each leg has length $5 \log 2.$

The perimeter is $\begin{aligned} &\log 3 + \log 192 + 2 \cdot 5\log 2 \\ &= \log(3 \cdot 192) + \log 2^{10} \\ &= \log(2^6 3^2) + \log 2^{10} \\ &= \log 2^{16} 3^2, \end{aligned}$ so $p + q = 16 + 2 = 18.$

5.

Se seleccionan al azar dos cuadrados unitarios, sin reemplazo, de una cuadrícula $n \times n$ de cuadrados unitarios. Halla el menor entero positivo $n$ tal que la probabilidad de que los dos cuadrados seleccionados sean adyacentes horizontal o verticalmente sea menor que $\frac{1}{2015}.$

Two unit squares are selected at random without replacement from an $n \times n$ grid of unit squares. Find the least positive integer $n$ such that the probability that the two selected squares are horizontally or vertically adjacent is less than $\frac{1}{2015}.$

Respuesta

Conceptos:probabilidad básica conteo de pares desigualdad

Nivel de dificultad: 2270

Solución:

Cada una de las $n$ filas contiene $n - 1$ pares adyacentes horizontalmente, así que hay $n(n-1)$ pares horizontales y análogamente $n(n-1)$ pares verticales. De los $\binom{n^2}{2} = \frac{n^2(n^2-1)}{2}$ pares igualmente probables, la probabilidad de adyacencia es $\frac{2n(n-1) \cdot 2}{n^2(n^2 - 1)} = \frac{4}{n(n+1)}.$

Necesitamos $n(n+1) \gt 4 \cdot 2015 = 8060.$ Como $89 \cdot 90 = 8010$ y $90 \cdot 91 = 8190,$ el menor $n$ que cumple esto es $90.$

Each of the $n$ rows contains $n - 1$ horizontally adjacent pairs, so there are $n(n-1)$ horizontal pairs and likewise $n(n-1)$ vertical pairs. Out of $\binom{n^2}{2} = \frac{n^2(n^2-1)}{2}$ equally likely pairs, the probability of adjacency is $\frac{2n(n-1) \cdot 2}{n^2(n^2 - 1)} = \frac{4}{n(n+1)}.$

We need $n(n+1) \gt 4 \cdot 2015 = 8060.$ Since $89 \cdot 90 = 8010$ and $90 \cdot 91 = 8190,$ the least such $n$ is $90.$

6.

Steve le dice a Jon: “Estoy pensando en un polinomio cuyas raíces son todas enteros positivos. El polinomio tiene la forma $P(x) = 2x^3 - 2ax^2$ $+ (a^2 - 81)x - c$ para ciertos enteros positivos $a$ y $c.$ ¿Puedes decirme los valores de $a$ y $c$ ?”

Tras algunos cálculos, Jon dice: “Hay más de un polinomio así.”

Steve dice: “Tienes razón. Aquí está el valor de $a.$ ” Escribe un entero positivo y pregunta: “¿Puedes decirme el valor de $c$ ?”

Jon dice: “Todavía hay dos posibles valores de $c.$ ”

Halla la suma de los dos posibles valores de $c.$

Steve says to Jon, "I am thinking of a polynomial whose roots are all positive integers. The polynomial has the form $P(x) = 2x^3 - 2ax^2$ $+ (a^2 - 81)x - c$ for some positive integers $a$ and $c.$ Can you tell me the values of $a$ and $c?$ "

After some calculations, Jon says, "There is more than one such polynomial."

Steve says, "You're right. Here is the value of $a.$ " He writes down a positive integer and asks, "Can you tell me the value of $c?$ "

Jon says, "There are still two possible values of $c.$ "

Find the sum of the two possible values of $c.$

Respuesta

Conceptos:Fórmulas de Vieta polinomio deducción lógica análisis por casos

Nivel de dificultad: 2500

Solución:

Dividiendo entre $2,$ las raíces $r \le s \le t$ cumplen $r + s + t = a,$ $rs + rt + st = \frac{a^2 - 81}{2},$ y $rst = \frac{c}{2}.$ Por lo tanto $\begin{aligned} &r^2 + s^2 + t^2 \\ &= (r + s + t)^2 - 2(rs + rt + st) \\ &= a^2 - (a^2 - 81) \\ &= 81. \end{aligned}$

Las ternas de enteros positivos cuyos cuadrados suman $81$ son $(1, 4, 8),$ $(4, 4, 7),$ y $(3, 6, 6),$ con $a = r + s + t$ igual a $13,$ $15,$ y $15.$ Como conocer $a$ aún dejaba a Jon dos opciones, $a = 15,$ y los dos polinomios provienen de $(4, 4, 7)$ y $(3, 6, 6).$

Los valores correspondientes de $c = 2rst$ son $2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 7 = 224$ y $2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot 6 = 216,$ con suma $224 + 216 = 440.$

Dividing by $2,$ the roots $r \le s \le t$ satisfy $r + s + t = a,$ $rs + rt + st = \frac{a^2 - 81}{2},$ and $rst = \frac{c}{2}.$ Therefore $\begin{aligned} &r^2 + s^2 + t^2 \\ &= (r + s + t)^2 - 2(rs + rt + st) \\ &= a^2 - (a^2 - 81) \\ &= 81. \end{aligned}$

The triples of positive integers whose squares sum to $81$ are $(1, 4, 8),$ $(4, 4, 7),$ and $(3, 6, 6),$ with $a = r + s + t$ equal to $13,$ $15,$ and $15.$ Since knowing $a$ still left Jon two choices, $a = 15,$ and the two polynomials come from $(4, 4, 7)$ and $(3, 6, 6).$

The corresponding values of $c = 2rst$ are $2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 7 = 224$ and $2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot 6 = 216,$ with sum $224 + 216 = 440.$

7.

El triángulo $ABC$ tiene lados $AB = 12,$ $BC = 25,$ y $CA = 17.$ El rectángulo $PQRS$ tiene el vértice $P$ en $\overline{AB},$ el vértice $Q$ en $\overline{AC},$ y los vértices $R$ y $S$ en $\overline{BC}.$ En términos de la longitud del lado $PQ = w,$ el área de $PQRS$ se puede expresar como el polinomio cuadrático $\text{Area}(PQRS) = \alpha w - \beta \cdot w^2.$ Entonces el coeficiente $\beta = \frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Triangle $ABC$ has side lengths $AB = 12,$ $BC = 25,$ and $CA = 17.$ Rectangle $PQRS$ has vertex $P$ on $\overline{AB},$ vertex $Q$ on $\overline{AC},$ and vertices $R$ and $S$ on $\overline{BC}.$ In terms of the side length $PQ = w,$ the area of $PQRS$ can be expressed as the quadratic polynomial $\text{Area}(PQRS) = \alpha w - \beta \cdot w^2.$ Then the coefficient $\beta = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:semejanza Fórmula de Herón área

Nivel de dificultad: 2470

Solución:

Por la fórmula de Herón con $s = 27,$ el área de $ABC$ es $\sqrt{27 \cdot 2 \cdot 10 \cdot 15} = \sqrt{8100} = 90,$ así que la altura desde $A$ hasta $\overline{BC}$ tiene longitud $h = \frac{2 \cdot 90}{25} = \frac{36}{5}.$

Como $\overline{PQ} \parallel \overline{BC},$ el triángulo $APQ$ es semejante a $ABC$ con razón $\frac{w}{25},$ así que la distancia desde $A$ hasta la recta $PQ$ es $\frac{w}{25}h,$ y la altura del rectángulo es $PS = h - \frac{w}{25}h.$ El área es $\begin{aligned} &w \cdot h\left(1 - \frac{w}{25}\right) \\ &= \frac{36}{5}\,w - \frac{36}{125}\,w^2. \end{aligned}$

Así $\beta = \frac{36}{125},$ y $m + n = 36 + 125 = 161.$

By Heron's formula with $s = 27,$ the area of $ABC$ is $\sqrt{27 \cdot 2 \cdot 10 \cdot 15} = \sqrt{8100} = 90,$ so the altitude from $A$ to $\overline{BC}$ has length $h = \frac{2 \cdot 90}{25} = \frac{36}{5}.$

Since $\overline{PQ} \parallel \overline{BC},$ triangle $APQ$ is similar to $ABC$ with ratio $\frac{w}{25},$ so the distance from $A$ down to line $PQ$ is $\frac{w}{25}h,$ and the rectangle's height is $PS = h - \frac{w}{25}h.$ The area is $\begin{aligned} &w \cdot h\left(1 - \frac{w}{25}\right) \\ &= \frac{36}{5}\,w - \frac{36}{125}\,w^2. \end{aligned}$

Thus $\beta = \frac{36}{125},$ and $m + n = 36 + 125 = 161.$

8.

Sean $a$ y $b$ enteros positivos que satisfacen $\frac{ab + 1}{a + b} \lt \frac{3}{2}.$ El máximo valor posible de $\frac{a^3 b^3 + 1}{a^3 + b^3}$ es $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $p + q.$

Let $a$ and $b$ be positive integers satisfying $\frac{ab + 1}{a + b} \lt \frac{3}{2}.$ The maximum possible value of $\frac{a^3 b^3 + 1}{a^3 + b^3}$ is $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q.$

Respuesta

Conceptos:desigualdad Truco de factorización favorito de Simon casos pequeños

Nivel de dificultad: 2650

Solución:

Si $a = 1$ o $b = 1,$ entonces $\frac{a^3b^3 + 1}{a^3 + b^3} = 1.$ Así que supón $a, b \ge 2.$ Al eliminar los denominadores, la hipótesis dice $2ab + 2 \lt 3a + 3b,$ y multiplicar por $2$ y reordenar da $\begin{aligned} &(2a - 3)(2b - 3) \\ &= 4ab - 6a - 6b + 9 \lt 5. \end{aligned}$

Para $a, b \ge 2$ ambos factores son enteros positivos impares, así que salvo simetría las únicas opciones son $(a, b) = (2, 2)$ y $(2, 3)$ (ambas satisfacen la desigualdad original, mientras que $(3, 3)$ da el producto $9$ ).

Los valores son $\frac{65}{16}$ para $(2, 2)$ y $\frac{8 \cdot 27 + 1}{8 + 27} = \frac{217}{35} = \frac{31}{5}$ para $(2, 3).$ El mayor es $\frac{31}{5},$ así que $p + q = 31 + 5 = 36.$

If $a = 1$ or $b = 1,$ then $\frac{a^3b^3 + 1}{a^3 + b^3} = 1.$ So assume $a, b \ge 2.$ Clearing denominators, the hypothesis says $2ab + 2 \lt 3a + 3b,$ and multiplying by $2$ and rearranging gives $\begin{aligned} &(2a - 3)(2b - 3) \\ &= 4ab - 6a - 6b + 9 \lt 5. \end{aligned}$

For $a, b \ge 2$ both factors are positive odd integers, so up to symmetry the only options are $(a, b) = (2, 2)$ and $(2, 3)$ (both of which do satisfy the original inequality, while $(3, 3)$ gives the product $9$ ).

The values are $\frac{65}{16}$ for $(2, 2)$ and $\frac{8 \cdot 27 + 1}{8 + 27} = \frac{217}{35} = \frac{31}{5}$ for $(2, 3).$ The larger is $\frac{31}{5},$ so $p + q = 31 + 5 = 36.$

9.

Un barril cilíndrico de radio $4$ pies y altura $10$ pies está lleno de agua. Un cubo sólido de lado $8$ pies se coloca dentro del barril de modo que la diagonal del cubo quede vertical. El volumen de agua así desplazado es $v$ pies cúbicos. Halla $v^2.$

A cylindrical barrel with radius $4$ feet and height $10$ feet is full of water. A solid cube with side length $8$ feet is set into the barrel so that the diagonal of the cube is vertical. The volume of water thus displaced is $v$ cubic feet. Find $v^2.$

Respuesta

Conceptos:Geometría 3D volumen pirámide

Nivel de dificultad: 2760

Solución:

El volumen desplazado es igual al volumen de la parte del cubo que queda debajo del plano del borde del barril. Por simetría, esa región es un tetraedro cortado de la esquina inferior del cubo: tres aristas mutuamente perpendiculares de igual longitud $\ell$ a lo largo de las aristas del cubo, rematadas por un triángulo equilátero en el plano del borde. La sección equilátera está inscrita en el círculo del borde de radio $4,$ así que su lado tiene longitud $4\sqrt{3},$ y por lo tanto $\ell = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{6}.$

Tomando una de las caras rectángulas isósceles como base, el volumen es $\begin{aligned} &\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\ell^2\right)\ell = \frac{\ell^3}{6} \\ &= \frac{(2\sqrt{6})^3}{6} \\ &= \frac{48\sqrt{6}}{6} = 8\sqrt{6}. \end{aligned}$

Así $v = 8\sqrt{6}$ y $v^2 = 64 \cdot 6 = 384.$

The displaced volume equals the volume of the part of the cube lying below the plane of the barrel's rim. By symmetry that region is a tetrahedron cut from the bottom corner of the cube: three mutually perpendicular edges of equal length $\ell$ along the cube's edges, capped by an equilateral triangle in the rim plane. The equilateral cross-section is inscribed in the rim circle of radius $4,$ so its side length is $4\sqrt{3},$ and therefore $\ell = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{6}.$

Taking one of the right isosceles faces as the base, the volume is $\begin{aligned} &\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\ell^2\right)\ell = \frac{\ell^3}{6} \\ &= \frac{(2\sqrt{6})^3}{6} \\ &= \frac{48\sqrt{6}}{6} = 8\sqrt{6}. \end{aligned}$

Thus $v = 8\sqrt{6}$ and $v^2 = 64 \cdot 6 = 384.$

10.

Llamamos a una permutación $a_1, a_2, \ldots, a_n$ de los enteros $1, 2, \ldots, n$ casi creciente si $a_k \le a_{k+1} + 2$ para cada $1 \le k \le n - 1.$ Por ejemplo, $53421$ y $14253$ son permutaciones casi crecientes de los enteros $1, 2, 3, 4, 5,$ pero $45123$ no lo es. Halla el número de permutaciones casi crecientes de los enteros $1, 2, \ldots, 7.$

Call a permutation $a_1, a_2, \ldots, a_n$ of the integers $1, 2, \ldots, n$ quasi-increasing if $a_k \le a_{k+1} + 2$ for each $1 \le k \le n - 1.$ For example, $53421$ and $14253$ are quasi-increasing permutations of the integers $1, 2, 3, 4, 5,$ but $45123$ is not. Find the number of quasi-increasing permutations of the integers $1, 2, \ldots, 7.$

Respuesta

Conceptos:permutaciones conteo recursivo

Nivel de dificultad: 2890

Solución:

Sea $S_n$ el número de permutaciones casi crecientes de $1, \ldots, n.$ Inserta $n$ en una permutación casi creciente de $1, \ldots, n - 1:$ la entrada que sigue a $n$ debe ser al menos $n - 2,$ así que $n$ puede ir inmediatamente antes de $n - 1,$ inmediatamente antes de $n - 2,$ o al final; exactamente $3$ posiciones, y cada inserción mantiene intacta cada otra condición de adyacencia.

Recíprocamente, eliminar $n$ de una permutación casi creciente de $1, \ldots, n$ deja una permutación casi creciente de $1, \ldots, n - 1,$ ya que las entradas alrededor del $n$ eliminado cumplen $a_{k-1} \le n - 1 \le a_{k+1} + 2$ cuando $n \ge 3.$ Así que $S_n = 3S_{n-1}$ para $n \ge 3.$

Como $S_2 = 2,$ obtenemos $S_7 = 2 \cdot 3^5 = 486.$

Let $S_n$ be the number of quasi-increasing permutations of $1, \ldots, n.$ Insert $n$ into a quasi-increasing permutation of $1, \ldots, n - 1:$ the entry following $n$ must be at least $n - 2,$ so $n$ can go immediately before $n - 1,$ immediately before $n - 2,$ or at the very end — exactly $3$ positions, and each insertion keeps every other adjacent condition intact.

Conversely, deleting $n$ from a quasi-increasing permutation of $1, \ldots, n$ leaves a quasi-increasing permutation of $1, \ldots, n - 1,$ since the entries around the deleted $n$ satisfy $a_{k-1} \le n - 1 \le a_{k+1} + 2$ when $n \ge 3.$ So $S_n = 3S_{n-1}$ for $n \ge 3.$

Since $S_2 = 2,$ we get $S_7 = 2 \cdot 3^5 = 486.$

11.

El circuncírculo del $\triangle ABC$ agudo tiene centro $O.$ La recta que pasa por el punto $O$ perpendicular a $\overline{OB}$ corta a las rectas $AB$ y $BC$ en $P$ y $Q,$ respectivamente. Además $AB = 5,$ $BC = 4,$ $BQ = 4.5,$ y $BP = \frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

The circumcircle of acute $\triangle ABC$ has center $O.$ The line passing through point $O$ perpendicular to $\overline{OB}$ intersects lines $AB$ and $BC$ at $P$ and $Q,$ respectively. Also $AB = 5,$ $BC = 4,$ $BQ = 4.5,$ and $BP = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio persecución de ángulos semejanza

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

El ángulo central sobre $\overline{BC}$ es $\angle BOC = 2\angle A,$ y $OB = OC$ hace que el triángulo $OBC$ sea isósceles, así que $\angle OBC = 90^\circ - \angle A.$ En el triángulo $OBQ$ el ángulo en $O$ es $90^\circ,$ por lo tanto $\begin{aligned} &\angle BQP = 90^\circ - \angle OBQ \\ &= 90^\circ - (90^\circ - \angle A) \\ &= \angle A. \end{aligned}$

Los triángulos $BQP$ y $BAC$ comparten el ángulo en $B$ y tienen $\angle BQP = \angle BAC,$ así que son semejantes, dando $\frac{BP}{BC} = \frac{BQ}{BA}.$ Por lo tanto $\begin{aligned} &BP = \frac{BQ \cdot BC}{BA} \\ &= \frac{4.5 \cdot 4}{5} = \frac{18}{5}, \end{aligned}$ y $m + n = 18 + 5 = 23.$

The central angle over $\overline{BC}$ is $\angle BOC = 2\angle A,$ and $OB = OC$ makes triangle $OBC$ isosceles, so $\angle OBC = 90^\circ - \angle A.$ In triangle $OBQ$ the angle at $O$ is $90^\circ,$ hence $\begin{aligned} &\angle BQP = 90^\circ - \angle OBQ \\ &= 90^\circ - (90^\circ - \angle A) \\ &= \angle A. \end{aligned}$

Triangles $BQP$ and $BAC$ share the angle at $B$ and have $\angle BQP = \angle BAC,$ so they are similar, giving $\frac{BP}{BC} = \frac{BQ}{BA}.$ Therefore $\begin{aligned} &BP = \frac{BQ \cdot BC}{BA} \\ &= \frac{4.5 \cdot 4}{5} = \frac{18}{5}, \end{aligned}$ and $m + n = 18 + 5 = 23.$

12.

Hay $2^{10} = 1024$ posibles cadenas de $10$ letras en las que cada letra es una A o una B. Halla el número de tales cadenas que no tienen más de $3$ letras adyacentes idénticas.

There are $2^{10} = 1024$ possible $10$ -letter strings in which each letter is either an A or a B. Find the number of such strings that do not have more than $3$ adjacent letters that are identical.

Respuesta

Conceptos:conteo recursivo arreglos con restricciones

Nivel de dificultad: 2890

Solución:

La condición dice que toda racha maximal de letras idénticas tiene longitud a lo sumo $3.$ Sea $s_n$ el número de cadenas válidas de longitud $n$ cuya primera letra es A; por simetría la respuesta es $2s_{10}.$ Quitar la primera racha (de longitud $1,$ $2,$ o $3$ ) deja una cadena válida más corta que empieza con B, así que $s_n = s_{n-1} + s_{n-2} + s_{n-3}.$

Partiendo de $s_1 = 1,$ $s_2 = 2,$ $s_3 = 4,$ la sucesión sigue $7, 13, 24, 44, 81, 149, 274,$ así que $s_{10} = 274.$

El número de cadenas válidas es $2 \cdot 274 = 548.$

The condition says every maximal run of identical letters has length at most $3.$ Let $s_n$ count the valid strings of length $n$ whose first letter is A; by symmetry the answer is $2s_{10}.$ Removing the first run (of length $1,$ $2,$ or $3$ ) leaves a valid shorter string beginning with B, so $s_n = s_{n-1} + s_{n-2} + s_{n-3}.$

Starting from $s_1 = 1,$ $s_2 = 2,$ $s_3 = 4,$ the sequence runs $7, 13, 24, 44, 81, 149, 274,$ so $s_{10} = 274.$

The number of valid strings is $2 \cdot 274 = 548.$

13.

Define la sucesión $a_1, a_2, a_3, \ldots$ mediante $a_n = \sum_{k=1}^{n} \sin(k),$ donde $k$ representa una medida en radianes. Halla el índice del $100$ -ésimo término para el cual $a_n \lt 0.$

Define the sequence $a_1, a_2, a_3, \ldots$ by $a_n = \sum_{k=1}^{n} \sin(k),$ where $k$ represents radian measure. Find the index of the $100$ th term for which $a_n \lt 0.$

Respuesta

Conceptos:identidad trigonométrica telescópica funciones piso y techo

Nivel de dificultad: 3270

Solución:

Multiplicando cada término por $2\sin\frac{1}{2}$ y usando $2\sin k \sin\frac{1}{2}$ $= \cos\left(k - \frac{1}{2}\right)$ $- \cos\left(k + \frac{1}{2}\right),$ la suma se telescopia: $a_n = \frac{\cos\frac{1}{2} - \cos\left(n + \frac{1}{2}\right)}{2\sin\frac{1}{2}}.$

Por lo tanto $a_n \lt 0$ exactamente cuando $\cos\left(n + \frac{1}{2}\right) \gt \cos\frac{1}{2},$ lo cual ocurre exactamente cuando $n + \frac{1}{2}$ dista menos de $\frac{1}{2}$ de un múltiplo de $2\pi:$ $\begin{aligned} &2\pi m - \tfrac{1}{2} \lt n + \tfrac{1}{2} \\ &\lt 2\pi m + \tfrac{1}{2}, \end{aligned}$ es decir $2\pi m - 1 \lt n \lt 2\pi m.$ Cada intervalo $(2\pi m - 1,\, 2\pi m)$ tiene longitud $1$ y contiene exactamente un entero, a saber $\lfloor 2\pi m \rfloor.$

Por lo tanto el $100$ -ésimo término negativo tiene índice $\lfloor 200\pi \rfloor.$ Como $3.14 \lt \pi \lt 3.145,$ tenemos $628 \lt 200\pi \lt 629,$ así que el índice es $628.$

Multiplying each term by $2\sin\frac{1}{2}$ and using $2\sin k \sin\frac{1}{2}$ $= \cos\left(k - \frac{1}{2}\right)$ $- \cos\left(k + \frac{1}{2}\right),$ the sum telescopes: $a_n = \frac{\cos\frac{1}{2} - \cos\left(n + \frac{1}{2}\right)}{2\sin\frac{1}{2}}.$

So $a_n \lt 0$ exactly when $\cos\left(n + \frac{1}{2}\right) \gt \cos\frac{1}{2},$ which happens exactly when $n + \frac{1}{2}$ is within $\frac{1}{2}$ of a multiple of $2\pi:$ $\begin{aligned} &2\pi m - \tfrac{1}{2} \lt n + \tfrac{1}{2} \\ &\lt 2\pi m + \tfrac{1}{2}, \end{aligned}$ i.e. $2\pi m - 1 \lt n \lt 2\pi m.$ Each interval $(2\pi m - 1,\, 2\pi m)$ has length $1$ and contains exactly one integer, namely $\lfloor 2\pi m \rfloor.$

Hence the $100$ th negative term has index $\lfloor 200\pi \rfloor.$ Since $3.14 \lt \pi \lt 3.145,$ we have $628 \lt 200\pi \lt 629,$ so the index is $628.$

14.

Sean $x$ y $y$ números reales que satisfacen $x^4 y^5 + y^4 x^5 = 810$ y $x^3 y^6 + y^3 x^6 = 945.$ Evalúa $2x^3 + (xy)^3 + 2y^3.$

Let $x$ and $y$ be real numbers satisfying $x^4 y^5 + y^4 x^5 = 810$ and $x^3 y^6 + y^3 x^6 = 945.$ Evaluate $2x^3 + (xy)^3 + 2y^3.$

Respuesta

Conceptos:simetría (álgebra)sustitución factorización

Nivel de dificultad: 3160

Solución:

Las ecuaciones se factorizan como $x^4y^4(x + y) = 810$ y $x^3y^3(x^3 + y^3) = 945.$ Con $s = x + y$ y $p = xy,$ usando $x^3 + y^3 = s(s^2 - 3p),$ se vuelven $p^4 s = 810$ y $p^3 s\,(s^2 - 3p) = 945.$ Dividiendo, $\begin{aligned} &\frac{s^2 - 3p}{p} = \frac{945}{810} \\ &= \frac{7}{6}, \end{aligned}$ así que $6s^2 = 25p.$

Sustituyendo $p = \frac{6s^2}{25}$ en $p^4 s = 810$ da $\left(\frac{6}{25}\right)^4 s^9 = 810,$ así que $s^9 = 810 \cdot \frac{390625}{1296} = \frac{1953125}{8},$ lo que significa $s^3 = \frac{125}{2}.$ Entonces $ps = \frac{6s^3}{25} = 15$ y $p^3 = \frac{216 s^6}{25^3} = \frac{216 \cdot 15625/4}{15625} = 54.$

Finalmente $\begin{aligned} &2x^3 + (xy)^3 + 2y^3 \\ &= 2(s^3 - 3ps) + p^3 \\ &= 2\left(\frac{125}{2} - 45\right) + 54 \\ &= 35 + 54 = 89. \end{aligned}$

The equations factor as $x^4y^4(x + y) = 810$ and $x^3y^3(x^3 + y^3) = 945.$ With $s = x + y$ and $p = xy,$ using $x^3 + y^3 = s(s^2 - 3p),$ they become $p^4 s = 810$ and $p^3 s\,(s^2 - 3p) = 945.$ Dividing, $\begin{aligned} &\frac{s^2 - 3p}{p} = \frac{945}{810} \\ &= \frac{7}{6}, \end{aligned}$ so $6s^2 = 25p.$

Substituting $p = \frac{6s^2}{25}$ into $p^4 s = 810$ gives $\left(\frac{6}{25}\right)^4 s^9 = 810,$ so $s^9 = 810 \cdot \frac{390625}{1296} = \frac{1953125}{8},$ which means $s^3 = \frac{125}{2}.$ Then $ps = \frac{6s^3}{25} = 15$ and $p^3 = \frac{216 s^6}{25^3} = \frac{216 \cdot 15625/4}{15625} = 54.$

Finally $\begin{aligned} &2x^3 + (xy)^3 + 2y^3 \\ &= 2(s^3 - 3ps) + p^3 \\ &= 2\left(\frac{125}{2} - 45\right) + 54 \\ &= 35 + 54 = 89. \end{aligned}$

15.

Los círculos $\mathcal{P}$ y $\mathcal{Q}$ tienen radios $1$ y $4,$ respectivamente, y son tangentes exteriormente en el punto $A.$ El punto $B$ está en $\mathcal{P}$ y el punto $C$ está en $\mathcal{Q}$ de modo que la recta $BC$ es una tangente exterior común de los dos círculos. Una recta $\ell$ que pasa por $A$ corta de nuevo a $\mathcal{P}$ en $D$ y corta de nuevo a $\mathcal{Q}$ en $E.$ Los puntos $B$ y $C$ están del mismo lado de $\ell,$ y las áreas de $\triangle DBA$ y $\triangle ACE$ son iguales. Esta área común es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Circles $\mathcal{P}$ and $\mathcal{Q}$ have radii $1$ and $4,$ respectively, and are externally tangent at point $A.$ Point $B$ is on $\mathcal{P}$ and point $C$ is on $\mathcal{Q}$ so that line $BC$ is a common external tangent of the two circles. A line $\ell$ through $A$ intersects $\mathcal{P}$ again at $D$ and intersects $\mathcal{Q}$ again at $E.$ Points $B$ and $C$ lie on the same side of $\ell,$ and the areas of $\triangle DBA$ and $\triangle ACE$ are equal. This common area is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:homotecia circunferencias tangentes geometría analítica área del triángulo

Nivel de dificultad: 3500

Solución:

Coloca la recta $BC$ sobre el eje $x$ , de modo que los centros son $P = (0, 1)$ y $Q = (4, 4)$ (su distancia es $1 + 4 = 5$ ), con $B = (0, 0),$ $C = (4, 0),$ y el punto de tangencia $A = P + \frac{1}{5}(Q - P) = \left(\frac{4}{5}, \frac{8}{5}\right).$ La homotecia centrada en $A$ con razón $-4$ lleva $\mathcal{P}$ a $\mathcal{Q}$ y $D$ a $E,$ así que $AE = 4\,AD.$ Como $[DBA] = \frac{1}{2} AD \cdot d(B, \ell)$ y $[ACE] = \frac{1}{2} AE \cdot d(C, \ell),$ la condición de áreas iguales es $d(B, \ell) = 4\,d(C, \ell)$ con $B$ y $C$ del mismo lado de $\ell.$

Escribe $\ell$ como $u\left(x - \frac{4}{5}\right) + v\left(y - \frac{8}{5}\right) = 0.$ Sus valores con signo en $B$ y $C$ son $-\frac{4u + 8v}{5}$ y $\frac{16u - 8v}{5},$ así que la condición de mismo lado y razón $4$ queda $-(4u + 8v) = 4(16u - 8v),$ dando $24v = 68u,$ es decir $v = \frac{17}{6}u.$ Tomando $(u, v) = (6, 17),$ la recta es $6x + 17y = 32.$

Entonces $d(B, \ell) = \frac{32}{\sqrt{325}},$ y el centro $P = (0, 1)$ está a distancia $\frac{15}{\sqrt{325}}$ de $\ell,$ así que la cuerda da $AD = 2\sqrt{1 - \frac{225}{325}} = \frac{20}{\sqrt{325}}.$ El área común es $\begin{aligned} &\frac{1}{2} \cdot \frac{20}{\sqrt{325}} \cdot \frac{32}{\sqrt{325}} \\ &= \frac{320}{325} = \frac{64}{65}, \end{aligned}$ así que $m + n = 64 + 65 = 129.$

Place line $BC$ on the $x$ -axis, so the centers are $P = (0, 1)$ and $Q = (4, 4)$ (their distance is $1 + 4 = 5$ ), with $B = (0, 0),$ $C = (4, 0),$ and the tangency point $A = P + \frac{1}{5}(Q - P) = \left(\frac{4}{5}, \frac{8}{5}\right).$ The homothety centered at $A$ with ratio $-4$ carries $\mathcal{P}$ to $\mathcal{Q}$ and $D$ to $E,$ so $AE = 4\,AD.$ Since $[DBA] = \frac{1}{2} AD \cdot d(B, \ell)$ and $[ACE] = \frac{1}{2} AE \cdot d(C, \ell),$ the equal-area condition is $d(B, \ell) = 4\,d(C, \ell)$ with $B$ and $C$ on the same side of $\ell.$

Write $\ell$ as $u\left(x - \frac{4}{5}\right) + v\left(y - \frac{8}{5}\right) = 0.$ Its signed values at $B$ and $C$ are $-\frac{4u + 8v}{5}$ and $\frac{16u - 8v}{5},$ so the same-side ratio- $4$ condition reads $-(4u + 8v) = 4(16u - 8v),$ giving $24v = 68u,$ i.e. $v = \frac{17}{6}u.$ Taking $(u, v) = (6, 17),$ the line is $6x + 17y = 32.$

Then $d(B, \ell) = \frac{32}{\sqrt{325}},$ and the center $P = (0, 1)$ is at distance $\frac{15}{\sqrt{325}}$ from $\ell,$ so the chord gives $AD = 2\sqrt{1 - \frac{225}{325}} = \frac{20}{\sqrt{325}}.$ The common area is $\begin{aligned} &\frac{1}{2} \cdot \frac{20}{\sqrt{325}} \cdot \frac{32}{\sqrt{325}} \\ &= \frac{320}{325} = \frac{64}{65}, \end{aligned}$ so $m + n = 64 + 65 = 129.$