Question

Para un entero positivo $n,$ sea $d_n$ el dígito de las unidades de $1 + 2 + 3 + \cdots + n.$ Halla el residuo cuando $\sum_{n=1}^{2017} d_n$ se divide entre $1000.$

For a positive integer $n,$ let $d_n$ be the units digit of $1 + 2 + 3 + \cdots + n.$ Find the remainder when $\sum_{n=1}^{2017} d_n$ is divided by $1000.$

Respuesta

Solución:

Aquí $d_n$ es el dígito de las unidades del número triangular $\frac{n(n+1)}{2}.$ Como $\frac{(n+20)(n+21)}{2}$ $- \frac{n(n+1)}{2} = 20n + 210$ es un múltiplo de $10,$ la sucesión $d_n$ es periódica con período $20.$ Calculando un período, $\begin{aligned} &(d_1, d_2, \ldots, d_{20}) \\ &\quad \tiny = (1, 3, 6, 0, 5, 1, 8, 6, 5, 5, 6, 8, 1, 5, 0, 6, 3, 1, 0, 0), \end{aligned}$ que suma $70.$

Como $2017 = 100 \cdot 20 + 17,$ el total es $100 \cdot 70$ más los primeros $17$ términos del período, que suman $70 - (1 + 0 + 0) = 69.$ La suma es $7069,$ así que el residuo es $69.$

Here $d_n$ is the units digit of the triangular number $\frac{n(n+1)}{2}.$ Since $\frac{(n+20)(n+21)}{2}$ $- \frac{n(n+1)}{2} = 20n + 210$ is a multiple of $10,$ the sequence $d_n$ is periodic with period $20.$ Computing one period, $\begin{aligned} &(d_1, d_2, \ldots, d_{20}) \\ &\quad \tiny = (1, 3, 6, 0, 5, 1, 8, 6, 5, 5, 6, 8, 1, 5, 0, 6, 3, 1, 0, 0), \end{aligned}$ which sums to $70.$

Since $2017 = 100 \cdot 20 + 17,$ the total is $100 \cdot 70$ plus the first $17$ terms of the period, which sum to $70 - (1 + 0 + 0) = 69.$ The sum is $7069,$ so the remainder is $69.$

2017 AIME I Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años