Question

Cuando cada uno de $702,$ $787,$ y $855$ se divide entre el entero positivo $m,$ el residuo es siempre el entero positivo $r.$ Cuando cada uno de $412,$ $722,$ y $815$ se divide entre el entero positivo $n,$ el residuo es siempre el entero positivo $s \neq r.$ Halla $m + n + r + s.$

When each of $702,$ $787,$ and $855$ is divided by the positive integer $m,$ the remainder is always the positive integer $r.$ When each of $412,$ $722,$ and $815$ is divided by the positive integer $n,$ the remainder is always the positive integer $s \neq r.$ Find $m + n + r + s.$

Respuesta

Respuesta: 62

Conceptos:máximo común divisor aritmética modular divisibilidad

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Si dos números dejan el mismo residuo al dividirse entre $m,$ entonces $m$ divide su diferencia

If two numbers leave the same remainder when divided by $m,$ then $m$ divides their difference

Pista grande:

Así $m$ es un factor común de $85$ y $68,$ y $n$ es un factor común de $310$ y $93$

So $m$ is a common factor of $85$ and $68,$ and $n$ is a common factor of $310$ and $93$

Solución:

Los números que dejan residuos iguales al dividirse entre $m$ difieren por múltiplos de $m,$ así que $m$ divide tanto a $787 - 702 = 85$ como a $855 - 787 = 68.$ Como $\gcd(85, 68) = 17$ y $m$ debe superar el residuo positivo $r,$ obtenemos $m = 17,$ y $r = 702 - 41 \cdot 17 = 5.$

De manera similar, $n$ divide tanto a $722 - 412 = 310$ como a $815 - 722 = 93,$ y $\gcd(310, 93) = 31,$ así que $n = 31$ y $s = 412 - 13 \cdot 31 = 9,$ que en efecto difiere de $r.$

La suma pedida es $17 + 31 + 5 + 9 = 62.$

Numbers leaving equal remainders upon division by $m$ differ by multiples of $m,$ so $m$ divides both $787 - 702 = 85$ and $855 - 787 = 68.$ Since $\gcd(85, 68) = 17$ and $m$ must exceed the positive remainder $r,$ we get $m = 17,$ and $r = 702 - 41 \cdot 17 = 5.$

Similarly $n$ divides both $722 - 412 = 310$ and $815 - 722 = 93,$ and $\gcd(310, 93) = 31,$ so $n = 31$ and $s = 412 - 13 \cdot 31 = 9,$ which indeed differs from $r.$

The requested sum is $17 + 31 + 5 + 9 = 62.$

2017 AIME I Problema 2

Respuesta: 62

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años