Question

El diagrama muestra veinte círculos congruentes dispuestos en tres filas y encerrados en un rectángulo. Los círculos son tangentes entre sí y a los lados del rectángulo como se muestra en el diagrama. La razón entre la dimensión más larga del rectángulo y la dimensión más corta puede escribirse como $\frac{1}{2}\left(\sqrt{p} - q\right),$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos. Halle $p + q.$

The diagram shows twenty congruent circles arranged in three rows and enclosed in a rectangle. The circles are tangent to one another and to the sides of the rectangle as shown in the diagram. The ratio of the longer dimension of the rectangle to the shorter dimension can be written as $\frac{1}{2}\left(\sqrt{p} - q\right),$ where $p$ and $q$ are positive integers. Find $p + q.$

Respuesta

Solución:

Sea $r$ el radio común. El lado más largo contiene una fila de siete círculos, así que es igual a $14r.$ Los centros de tres círculos mutuamente tangentes en filas adyacentes forman un triángulo equilátero de lado $2r,$ cuya altura es $r\sqrt{3},$ de modo que los dos espacios entre filas de centros aportan $2r\sqrt{3},$ y el lado más corto es $r + 2r\sqrt{3} + r = 2r + 2r\sqrt{3}.$

La razón es $\begin{aligned} \frac{14r}{2r\left(1 + \sqrt{3}\right)} &= \frac{7}{1 + \sqrt{3}} \\ &= \frac{7\left(\sqrt{3} - 1\right)}{2} \\ &= \frac{1}{2}\left(\sqrt{147} - 7\right), \end{aligned}$ así que $p = 147,$ $q = 7,$ y $p + q = 154.$

Let $r$ be the common radius. The longer side holds a row of seven circles, so it equals $14r.$ The centers of three mutually tangent circles in adjacent rows form an equilateral triangle with side $2r,$ whose height is $r\sqrt{3},$ so the two gaps between rows of centers contribute $2r\sqrt{3},$ and the shorter side is $r + 2r\sqrt{3} + r = 2r + 2r\sqrt{3}.$

The ratio is $\begin{aligned} \frac{14r}{2r\left(1 + \sqrt{3}\right)} &= \frac{7}{1 + \sqrt{3}} \\ &= \frac{7\left(\sqrt{3} - 1\right)}{2} \\ &= \frac{1}{2}\left(\sqrt{147} - 7\right), \end{aligned}$ so $p = 147,$ $q = 7,$ and $p + q = 154.$

2002 AIME I Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años