Question

Recuerda que un palíndromo es un número que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. Halla el mayor entero menor que $1000$ que sea palíndromo tanto escrito en base diez como escrito en base ocho, como $292 = 444_{\text{eight}}.$

Recall that a palindrome is a number that reads the same forward and backward. Find the greatest integer less than $1000$ that is a palindrome both when written in base ten and when written in base eight, such as $292 = 444_{\text{eight}}.$

Respuesta

Solución:

Un número de cuatro dígitos en base ocho está entre $512$ y $4095,$ así que un palíndromo en base ocho menor que $1000$ con cuatro dígitos debe tener el dígito inicial (y final) igual a $1:$ tiene la forma $\overline{1bb1}_{\text{eight}} = 512 + 64b$ ${}+ 8b + 1$ $= 513 + 72b.$ Para mantenerlo por debajo de $1000$ se necesita $b \le 6,$ lo que da los candidatos $513, 585, 657, 729, 801, 873, 945.$

Comprobando de mayor a menor, el único de estos que también es palíndromo en base diez es $585 = 1111_{\text{eight}}.$ Todo palíndromo en base ocho con a lo sumo tres dígitos es a lo sumo $777_{\text{eight}} = 511 \lt 585,$ así que la respuesta es $585.$

A four-digit base-eight number lies between $512$ and $4095,$ so a base-eight palindrome less than $1000$ with four digits must have leading (and trailing) digit $1:$ it has the form $\overline{1bb1}_{\text{eight}} = 512 + 64b$ ${}+ 8b + 1$ $= 513 + 72b.$ Keeping this below $1000$ requires $b \le 6,$ giving the candidates $513, 585, 657, 729, 801, 873, 945.$

Checking from the top, the only one of these that is also a palindrome in base ten is $585 = 1111_{\text{eight}}.$ Every base-eight palindrome with at most three digits is at most $777_{\text{eight}} = 511 \lt 585,$ so the answer is $585.$

2023 AIME II Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años