Question

En el rectángulo

ABCD,

AB = 12

y

BC = 10.

Los puntos

E

y

F

están dentro del rectángulo

ABCD

de modo que

BE = 9,

DF = 8,

\overline{BE} \parallel \overline{DF},

\overline{EF} \parallel \overline{AB},

y la recta

BE

corta al segmento

\overline{AD}.

La longitud

EF

se puede expresar en la forma

m\sqrt{n} - p,

donde

m,

n,

y

p

son enteros positivos y

n

no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla

m + n + p.

In rectangle

ABCD,

AB = 12

and

BC = 10.

Points

E

and

F

lie inside rectangle

ABCD

so that

BE = 9,

DF = 8,

\overline{BE} \parallel \overline{DF},

\overline{EF} \parallel \overline{AB},

and line

BE

intersects segment

\overline{AD}.

The length

EF

can be expressed in the form

m\sqrt{n} - p,

where

m,

n,

and

p

are positive integers and

n

is not divisible by the square of any prime. Find

m + n + p.

Respuesta

Respuesta: 36

Conceptos:geometría analítica vector Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Como

\overline{BE} \parallel \overline{DF},

escribe

E = B - 9(u, v)

y

F = D + 8(u, v)

para un vector unitario

(u, v)

Since

\overline{BE} \parallel \overline{DF},

write

E = B - 9(u, v)

and

F = D + 8(u, v)

for one unit vector

(u, v)

Pista grande:

\overline{EF} \parallel \overline{AB}

obliga a que

E

y

F

estén a la misma altura, lo que da

v = \frac{10}{17};

entonces

EF

es una diferencia de coordenadas

x

\overline{EF} \parallel \overline{AB}

forces

E

and

F

to the same height, giving

v = \frac{10}{17};

then

EF

is a difference of

x

-coordinates

Solución:

Coloca

D = (0, 0),

C = (12, 0),

B = (12, 10),

A = (0, 10).

Como

\overline{BE} \parallel \overline{DF},

existe un vector unitario

(u, v)

con

u, v \gt 0

tal que

E = B - 9(u, v)

y

F = D + 8(u, v):

la recta

BE

va hacia abajo y a la izquierda para poder cruzar

\overline{AD},

mientras que

\overline{DF}

apunta hacia arriba y a la derecha, hacia el interior del rectángulo.

Como

\overline{EF} \parallel \overline{AB}

es horizontal,

E

y

F

tienen alturas iguales:

10 - 9v = 8v,

así que

v = \frac{10}{17}

y

u = \sqrt{1 - v^2} = \frac{3\sqrt{21}}{17}.

Entonces

E

y

F

tienen coordenadas

x

iguales a

12 - 9u

y

8u,

así que

EF = |12 - 17u|

= |12 - 3\sqrt{21}|

= 3\sqrt{21} - 12,

ya que

3\sqrt{21} \gt 12.

Por lo tanto,

m + n + p = 3 + 21 + 12 = 36.

Place

D = (0, 0),

C = (12, 0),

B = (12, 10),

A = (0, 10).

Since

\overline{BE} \parallel \overline{DF},

there is a unit vector

(u, v)

with

u, v \gt 0

such that

E = B - 9(u, v)

and

F = D + 8(u, v):

line

BE

heads down and to the left so that it can cross

\overline{AD},

while

\overline{DF}

points up and to the right into the rectangle.

Because

\overline{EF} \parallel \overline{AB}

is horizontal,

E

and

F

have equal heights:

10 - 9v = 8v,

so

v = \frac{10}{17}

and

u = \sqrt{1 - v^2} = \frac{3\sqrt{21}}{17}.

Then

E

and

F

have

x

-coordinates

12 - 9u

and

8u,

so

EF = |12 - 17u|

= |12 - 3\sqrt{21}|

= 3\sqrt{21} - 12,

since

3\sqrt{21} \gt 12.

Thus

m + n + p = 3 + 21 + 12 = 36.

2011 AIME I Problema 2

Respuesta: 36

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años