Question

Considera el paralelogramo con vértices $(10, 45),$ $(10, 114),$ $(28, 153),$ y $(28, 84).$ Una recta que pasa por el origen divide esta figura en dos polígonos congruentes. La pendiente de la recta es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Consider the parallelogram with vertices $(10, 45),$ $(10, 114),$ $(28, 153),$ and $(28, 84).$ A line through the origin cuts this figure into two congruent polygons. The slope of the line is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 118

Conceptos:paralelogramo punto medio pendiente simetría

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Una recta divide un paralelogramo en dos piezas congruentes cuando pasa por el centro de simetría del paralelogramo

A line cuts a parallelogram into two congruent pieces when it passes through the parallelogram’s center of symmetry

Pista grande:

El centro es el punto medio de la diagonal desde $(10, 45)$ hasta $(28, 153)$

The center is the midpoint of the diagonal from $(10, 45)$ to $(28, 153)$

Solución:

Dos piezas congruentes tienen igual área. Para cualquier dirección fija, hay una única recta de esa dirección que biseca el área de una figura convexa; como el paralelogramo es centralmente simétrico, esa recta pasa por su centro. Por lo tanto, la recta buscada que pasa por el origen también debe pasar por el centro. Recíprocamente, un paralelogramo es simétrico bajo la rotación de $180^\circ$ en torno a su centro, de modo que cualquier recta que pase por el centro lo divide en dos piezas que se intercambian mediante esa rotación, y por tanto son congruentes. El centro es el punto medio de una diagonal: $\begin{aligned} &\left(\frac{10 + 28}{2}, \frac{45 + 153}{2}\right) \\ &= (19, 99). \end{aligned}$

La recta que pasa por el origen y $(19, 99)$ tiene pendiente $\frac{99}{19},$ y $\gcd(99, 19) = 1,$ así que $m + n = 99 + 19 = 118.$

Congruent pieces have equal area. For any fixed direction, there is only one line in that direction that bisects the area of a convex figure; because a parallelogram is centrally symmetric, that line passes through its center. Thus the required line through the origin must also pass through the center. Conversely, the $180^\circ$ rotation about the center swaps the two pieces cut by such a line, so they are congruent. The center is the midpoint of a diagonal: $\begin{aligned} &\left(\frac{10 + 28}{2}, \frac{45 + 153}{2}\right) \\ &= (19, 99). \end{aligned}$

The line through the origin and $(19, 99)$ has slope $\frac{99}{19},$ and $\gcd(99, 19) = 1,$ so $m + n = 99 + 19 = 118.$

1999 AIME Problema 2

Respuesta: 118

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años