Question

En el cuadrado $ABCD,$ el punto $E$ está sobre el lado $\overline{AD}$ y el punto $F$ está sobre el lado $\overline{BC},$ de modo que $BE = EF = FD = 30.$ Halla el área del cuadrado $ABCD.$

On square $ABCD,$ point $E$ lies on side $\overline{AD}$ and point $F$ lies on side $\overline{BC},$ so that $BE = EF = FD = 30.$ Find the area of square $ABCD.$

Respuesta

Solución:

Sea $s$ la longitud del lado, y coloca $B = (0, 0),$ $C = (s, 0),$ $A = (0, s),$ $D = (s, s).$ Escribe $E = (a, s)$ y $F = (b, 0).$ Entonces $BE^2 = a^2 + s^2,$ $FD^2 = (s - b)^2 + s^2,$ y $EF^2 = (a - b)^2 + s^2.$

De $BE = FD$ obtenemos $a = s - b,$ así que $a - b = 2a - s.$ Luego $EF = BE$ da $(2a - s)^2 = a^2,$ cuyas soluciones son $a = \frac{s}{3}$ y $a = s$ (la última hace colapsar $E$ y $F$ sobre las esquinas $D$ y $B,$ haciendo que los tres segmentos coincidan). Así que $a = \frac{s}{3}.$

Ahora $900 = BE^2 = \frac{s^2}{9} + s^2 = \frac{10s^2}{9},$ así que el área es $s^2 = \frac{9}{10} \cdot 900 = 810.$

Let the side length be $s,$ and place $B = (0, 0),$ $C = (s, 0),$ $A = (0, s),$ $D = (s, s).$ Write $E = (a, s)$ and $F = (b, 0).$ Then $BE^2 = a^2 + s^2,$ $FD^2 = (s - b)^2 + s^2,$ and $EF^2 = (a - b)^2 + s^2.$

From $BE = FD$ we get $a = s - b,$ so $a - b = 2a - s.$ Then $EF = BE$ gives $(2a - s)^2 = a^2,$ whose solutions are $a = \frac{s}{3}$ and $a = s$ (the latter collapses $E$ and $F$ onto the corners $D$ and $B,$ making the three segments coincide). So $a = \frac{s}{3}.$

Now $900 = BE^2 = \frac{s^2}{9} + s^2 = \frac{10s^2}{9},$ so the area is $s^2 = \frac{9}{10} \cdot 900 = 810.$

2011 AIME II Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años