Question

Halle el número de palíndromos enteros positivos escritos en base $10,$ sin dígitos cero, y cuyos dígitos suman $13.$ Por ejemplo, $42124$ tiene estas propiedades. Recuerde que un palíndromo es un número cuya representación se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.

Find the number of positive integer palindromes written in base $10,$ with no zero digits, and whose digits add up to $13.$ For example, $42124$ has these properties. Recall that a palindrome is a number whose representation reads the same from left to right as from right to left.

Respuesta

Solución:

Un palíndromo con un número par de dígitos tiene cada dígito apareciendo en un par reflejado, así que su suma de dígitos es par. Como $13$ es impar, el palíndromo tiene un número impar de dígitos, y si $m$ es el dígito central, el resto de la suma de dígitos $13 - m$ se reparte por igual entre las dos mitades, así que $m$ es impar. Un palíndromo de un dígito requeriría $m = 13,$ lo cual es imposible.

El palíndromo queda determinado por su dígito central $m$ y el bloque de dígitos a la izquierda del centro: una cadena no vacía de dígitos no nulos con suma $s = \frac{13 - m}{2}.$ Para $m = 1, 3, 5, 7, 9$ obtenemos $s = 6, 5, 4, 3, 2.$ Como $s \le 6,$ cada dígito de tal cadena es automáticamente a lo sumo $9,$ así que el número de cadenas es el número de composiciones de $s,$ que es $2^{s-1}$ (cada uno de los $s - 1$ huecos entre unidades es un corte o no).

El total es $\begin{aligned} &2^{5} + 2^{4} + 2^{3} + 2^{2} + 2^{1} \\ &= 32 + 16 + 8 + 4 + 2 \\ &= 62. \end{aligned}$

A palindrome with an even number of digits has each digit appearing in a mirrored pair, so its digit sum is even. Since $13$ is odd, the palindrome has an odd number of digits, and if $m$ is the middle digit, the rest of the digit sum $13 - m$ is split evenly between the two halves, so $m$ is odd. A one-digit palindrome would need $m = 13,$ which is impossible.

The palindrome is determined by its middle digit $m$ and the block of digits to the left of center: a nonempty string of nonzero digits with sum $s = \frac{13 - m}{2}.$ For $m = 1, 3, 5, 7, 9$ we get $s = 6, 5, 4, 3, 2.$ Since $s \le 6,$ every digit of such a string is automatically at most $9,$ so the number of strings is the number of compositions of $s,$ which is $2^{s-1}$ (each of the $s - 1$ gaps between units is either a break or not).

The total is $\begin{aligned} &2^{5} + 2^{4} + 2^{3} + 2^{2} + 2^{1} \\ &= 32 + 16 + 8 + 4 + 2 \\ &= 62. \end{aligned}$

2026 AIME I Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años