Soluciones del 2011 AIME II | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Gary compró una bebida grande, pero solo bebió $\frac{m}{n}$ de esta bebida, donde $m$ y $n$ son enteros positivos coprimos. Si Gary hubiera comprado solo la mitad y bebido el doble, habría desperdiciado solo $\frac{2}{9}$ de la bebida. Halla $m + n.$

Gary purchased a large beverage, but drank only $\frac{m}{n}$ of this beverage, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. If Gary had purchased only half as much and drunk twice as much, he would have wasted only $\frac{2}{9}$ as much beverage. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:ecuación lineal razón y proporción

Nivel de dificultad: 1710

Solución:

Digamos que Gary compró una cantidad $x$ y bebió una cantidad $y,$ desperdiciando $x - y.$ En el segundo escenario habría comprado $\frac{x}{2}$ y bebido $2y,$ desperdiciando $\frac{x}{2} - 2y.$ La condición es $\frac{x}{2} - 2y = \frac{2}{9}(x - y).$

Multiplicando por $18$ se obtiene $9x - 36y = 4x - 4y,$ así que $5x = 32y$ y $\frac{y}{x} = \frac{5}{32}.$ Como $\gcd(5, 32) = 1,$ la respuesta es $5 + 32 = 37.$

Say Gary purchased an amount $x$ and drank an amount $y,$ wasting $x - y.$ In the second scenario he would have purchased $\frac{x}{2}$ and drunk $2y,$ wasting $\frac{x}{2} - 2y.$ The condition is $\frac{x}{2} - 2y = \frac{2}{9}(x - y).$

Multiplying by $18$ gives $9x - 36y = 4x - 4y,$ so $5x = 32y$ and $\frac{y}{x} = \frac{5}{32}.$ Since $\gcd(5, 32) = 1,$ the answer is $5 + 32 = 37.$

2.

En el cuadrado $ABCD,$ el punto $E$ está sobre el lado $\overline{AD}$ y el punto $F$ está sobre el lado $\overline{BC},$ de modo que $BE = EF = FD = 30.$ Halla el área del cuadrado $ABCD.$

On square $ABCD,$ point $E$ lies on side $\overline{AD}$ and point $F$ lies on side $\overline{BC},$ so that $BE = EF = FD = 30.$ Find the area of square $ABCD.$

Respuesta

Conceptos:cuadrado (geometría)geometría analítica Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1970

Solución:

Sea $s$ la longitud del lado, y coloca $B = (0, 0),$ $C = (s, 0),$ $A = (0, s),$ $D = (s, s).$ Escribe $E = (a, s)$ y $F = (b, 0).$ Entonces $BE^2 = a^2 + s^2,$ $FD^2 = (s - b)^2 + s^2,$ y $EF^2 = (a - b)^2 + s^2.$

De $BE = FD$ obtenemos $a = s - b,$ así que $a - b = 2a - s.$ Luego $EF = BE$ da $(2a - s)^2 = a^2,$ cuyas soluciones son $a = \frac{s}{3}$ y $a = s$ (la última hace colapsar $E$ y $F$ sobre las esquinas $D$ y $B,$ haciendo que los tres segmentos coincidan). Así que $a = \frac{s}{3}.$

Ahora $900 = BE^2 = \frac{s^2}{9} + s^2 = \frac{10s^2}{9},$ así que el área es $s^2 = \frac{9}{10} \cdot 900 = 810.$

Let the side length be $s,$ and place $B = (0, 0),$ $C = (s, 0),$ $A = (0, s),$ $D = (s, s).$ Write $E = (a, s)$ and $F = (b, 0).$ Then $BE^2 = a^2 + s^2,$ $FD^2 = (s - b)^2 + s^2,$ and $EF^2 = (a - b)^2 + s^2.$

From $BE = FD$ we get $a = s - b,$ so $a - b = 2a - s.$ Then $EF = BE$ gives $(2a - s)^2 = a^2,$ whose solutions are $a = \frac{s}{3}$ and $a = s$ (the latter collapses $E$ and $F$ onto the corners $D$ and $B,$ making the three segments coincide). So $a = \frac{s}{3}.$

Now $900 = BE^2 = \frac{s^2}{9} + s^2 = \frac{10s^2}{9},$ so the area is $s^2 = \frac{9}{10} \cdot 900 = 810.$

3.

Las medidas en grados de los ángulos de un polígono convexo de $18$ lados forman una sucesión aritmética creciente con valores enteros. Halla la medida en grados del ángulo más pequeño.

The degree measures of the angles of a convex $18$ -sided polygon form an increasing arithmetic sequence with integer values. Find the degree measure of the smallest angle.

Respuesta

Conceptos:suma de ángulos sucesión aritmética paridad

Nivel de dificultad: 1920

Solución:

Los ángulos interiores de un $18$ -ágono suman $180 \cdot 16 = 2880$ grados. Si el ángulo más pequeño es $a$ y la diferencia común es $d,$ entonces $18a + 153d = 2880,$ es decir $2a + 17d = 320.$ Como $a$ y $d$ son enteros, $17d$ debe ser par, así que $d$ es par, y $d \ge 2$ porque la sucesión es creciente.

La convexidad requiere que el ángulo más grande $a + 17d = \frac{320 + 17d}{2}$ sea menor que $180,$ así que $17d \lt 40$ y $d \le 2.$ Por lo tanto $d = 2$ y $a = \frac{320 - 34}{2} = 143.$

The interior angles of an $18$ -gon sum to $180 \cdot 16 = 2880$ degrees. If the smallest angle is $a$ and the common difference is $d,$ then $18a + 153d = 2880,$ i.e. $2a + 17d = 320.$ Since $a$ and $d$ are integers, $17d$ must be even, so $d$ is even, and $d \ge 2$ because the sequence is increasing.

Convexity requires the largest angle $a + 17d = \frac{320 + 17d}{2}$ to be less than $180,$ so $17d \lt 40$ and $d \le 2.$ Thus $d = 2$ and $a = \frac{320 - 34}{2} = 143.$

4.

En el triángulo $ABC,$ $AB = \frac{20}{11} AC.$ La bisectriz del ángulo $A$ corta a $\overline{BC}$ en el punto $D,$ y el punto $M$ es el punto medio de $\overline{AD}.$ Sea $P$ el punto de intersección de $\overline{AC}$ con la recta $BM.$ La razón de $CP$ a $PA$ puede expresarse en la forma $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos coprimos. Halla $m + n.$

In triangle $ABC,$ $AB = \frac{20}{11} AC.$ The angle bisector of angle $A$ intersects $\overline{BC}$ at point $D,$ and point $M$ is the midpoint of $\overline{AD}.$ Let $P$ be the point of the intersection of $\overline{AC}$ and line $BM.$ The ratio of $CP$ to $PA$ can be expressed in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:puntos de masa teorema de la bisectriz

Nivel de dificultad: 2270

Solución:

Por el teorema de la bisectriz, $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{20}{11}.$ Usa puntos de masa: coloca masa $11$ en $B$ y masa $20$ en $C,$ de modo que $D,$ que divide a $\overline{BC}$ con $BD : DC = 20 : 11,$ es su punto de equilibrio y lleva masa $31.$ Colocar masa $31$ en $A$ hace que el punto de equilibrio de $A$ y $D$ sea exactamente el punto medio $M$ de $\overline{AD}.$

El centro de masa de todo el sistema, por lo tanto, está sobre la recta $BM,$ y también está sobre el segmento de $B$ al punto de equilibrio de $A$ y $C.$ Ese punto de equilibrio es precisamente donde la recta $BM$ cruza $\overline{AC},$ a saber $P,$ y satisface $31 \cdot PA = 20 \cdot CP.$

Por lo tanto $\frac{CP}{PA} = \frac{31}{20},$ que está en términos mínimos, y $m + n = 31 + 20 = 51.$

By the angle bisector theorem, $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{20}{11}.$ Use mass points: place mass $11$ at $B$ and mass $20$ at $C,$ so that $D,$ which divides $\overline{BC}$ with $BD : DC = 20 : 11,$ is their balance point and carries mass $31.$ Placing mass $31$ at $A$ makes the balance point of $A$ and $D$ exactly the midpoint $M$ of $\overline{AD}.$

The center of mass of the whole system therefore lies on line $BM,$ and it also lies on the segment from $B$ to the balance point of $A$ and $C.$ That balance point is precisely where line $BM$ crosses $\overline{AC},$ namely $P,$ and it satisfies $31 \cdot PA = 20 \cdot CP.$

Hence $\frac{CP}{PA} = \frac{31}{20},$ which is in lowest terms, and $m + n = 31 + 20 = 51.$

5.

La suma de los primeros $2011$ términos de una serie geométrica es $200.$ La suma de los primeros $4022$ términos de la misma serie es $380.$ Halla la suma de los primeros $6033$ términos de la serie.

The sum of the first $2011$ terms of a geometric series is $200.$ The sum of the first $4022$ terms of the same series is $380.$ Find the sum of the first $6033$ terms of the series.

Respuesta

Conceptos:sucesión geométrica sumatoria

Nivel de dificultad: 1970

Solución:

Agrupa la serie en bloques de $2011$ términos consecutivos. Cada término del segundo bloque es $r^{2011}$ veces el término correspondiente del primer bloque, así que las sumas de los bloques forman una sucesión geométrica con razón $r^{2011}.$ El primer bloque suma $200$ y el segundo bloque suma $380 - 200 = 180,$ así que $r^{2011} = \frac{180}{200} = \frac{9}{10}.$

El tercer bloque entonces suma $180 \cdot \frac{9}{10} = 162,$ así que la suma de los primeros $6033$ términos es $380 + 162 = 542.$

Group the series into blocks of $2011$ consecutive terms. Each term of the second block is $r^{2011}$ times the corresponding term of the first block, so the block sums form a geometric sequence with ratio $r^{2011}.$ The first block sums to $200$ and the second block sums to $380 - 200 = 180,$ so $r^{2011} = \frac{180}{200} = \frac{9}{10}.$

The third block then sums to $180 \cdot \frac{9}{10} = 162,$ so the sum of the first $6033$ terms is $380 + 162 = 542.$

6.

Se define que una cuádrupla ordenada de enteros $(a, b, c, d)$ es interesante si $1 \le a \lt b \lt c \lt d \le 10$ y $a + d \gt b + c.$ ¿Cuántas cuádruplas ordenadas interesantes hay?

Define an ordered quadruple of integers $(a, b, c, d)$ to be interesting if $1 \le a \lt b \lt c \lt d \le 10$ and $a + d \gt b + c.$ How many interesting ordered quadruples are there?

Respuesta

Conceptos:combinaciones biyección simetría

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

La condición $a + d \gt b + c$ es equivalente a $d - c \gt b - a.$ Hay en total $\binom{10}{4} = 210$ cuádruplas, y la involución $(a, b, c, d)$ $\small \mapsto (11 - d,\, 11 - c,\, 11 - b,\, 11 - a)$ intercambia los intervalos exteriores $b - a$ y $d - c.$ Así que las cuádruplas con $d - c \gt b - a$ y las que tienen $d - c \lt b - a$ son igual de numerosas, y la respuesta es $\frac{210 - T}{2},$ donde $T$ cuenta las cuádruplas con $d - c = b - a.$

Si $b - a = d - c = k$ y $c - b = j,$ la cuádrupla queda determinada por $(a, j, k)$ con $a, j, k \ge 1$ y $a + 2k + j \le 10.$ Para $k = 1, 2, 3, 4$ los pares $(a, j)$ con $a + j \le 8, 6, 4, 2$ suman $28,$ $15,$ $6,$ $1,$ así que $T = 50.$

Por lo tanto, el número de cuádruplas interesantes es $\frac{210 - 50}{2} = 80.$

The condition $a + d \gt b + c$ is equivalent to $d - c \gt b - a.$ There are $\binom{10}{4} = 210$ quadruples in all, and the involution $(a, b, c, d)$ $\small \mapsto (11 - d,\, 11 - c,\, 11 - b,\, 11 - a)$ exchanges the outer gaps $b - a$ and $d - c.$ So the quadruples with $d - c \gt b - a$ and those with $d - c \lt b - a$ are equinumerous, and the answer is $\frac{210 - T}{2},$ where $T$ counts quadruples with $d - c = b - a.$

If $b - a = d - c = k$ and $c - b = j,$ the quadruple is determined by $(a, j, k)$ with $a, j, k \ge 1$ and $a + 2k + j \le 10.$ For $k = 1, 2, 3, 4$ the pairs $(a, j)$ with $a + j \le 8, 6, 4, 2$ number $28,$ $15,$ $6,$ $1,$ so $T = 50.$

Therefore the number of interesting quadruples is $\frac{210 - 50}{2} = 80.$

7.

Ed tiene cinco canicas verdes idénticas y una gran cantidad de canicas rojas idénticas. Coloca las canicas verdes y algunas de las rojas en una fila y descubre que el número de canicas cuyo vecino a la derecha es del mismo color que ellas mismas es igual al número de canicas cuyo vecino a la derecha es del otro color. Un ejemplo de tal disposición es GGRRRGGRG. Sea $m$ el número máximo de canicas rojas para el cual tal disposición es posible, y sea $N$ el número de formas en que Ed puede disponer las $m + 5$ canicas para satisfacer el requisito. Halla el residuo cuando $N$ se divide entre $1000.$

Ed has five identical green marbles, and a large supply of identical red marbles. He arranges the green marbles and some of the red ones in a row and finds that the number of marbles whose right hand neighbor is the same color as themselves equals the number of marbles whose right hand neighbor is the other color. An example of such an arrangement is GGRRRGGRG. Let $m$ be the maximum number of red marbles for which such an arrangement is possible, and let $N$ be the number of ways in which Ed can arrange the $m + 5$ marbles to satisfy the requirement. Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:arreglos con restricciones particiones y composiciones estrellas y barras

Nivel de dificultad: 2710

Solución:

Divide la fila en rachas maximales de un solo color. Si hay $k$ rachas, hay exactamente $k - 1$ pares de vecinos de distinto color. Como las rachas alternan colores y las cinco canicas verdes forman a lo sumo $5$ rachas, hay a lo sumo $6$ rachas rojas, por lo tanto a lo sumo $11$ rachas y a lo sumo $10$ pares de distinto color. Con $n$ canicas rojas hay en total $n + 4$ pares de vecinos, y el requisito dice que la mitad de ellos son pares de distinto color, así que $n + 4 \le 20,$ es decir $n \le 16.$ Por lo tanto $m = 16.$

Con $16$ rojas y $21$ canicas, el número de pares de distinto color debe ser exactamente $10,$ así que hay exactamente $11$ rachas: los colores deben alternar como rojo, verde, rojo, $\cdots$ , rojo con $6$ rachas rojas y $5$ canicas verdes individuales entre ellas. Las disposiciones corresponden a las composiciones de $16$ en $6$ partes positivas, de las cuales hay $\binom{15}{5} = 3003.$

Por lo tanto $N = 3003,$ y el residuo al dividir entre $1000$ es $3.$

Break the row into maximal single-color runs. If there are $k$ runs, there are exactly $k - 1$ different-color neighbor pairs. Since runs alternate colors and the five green marbles form at most $5$ runs, there are at most $6$ red runs, hence at most $11$ runs and at most $10$ different-color pairs. With $n$ red marbles there are $n + 4$ neighbor pairs in all, and the requirement says half of them are different-color pairs, so $n + 4 \le 20,$ i.e. $n \le 16.$ Thus $m = 16.$

With $16$ reds and $21$ marbles, the count of different-color pairs must be exactly $10,$ so there are exactly $11$ runs: the colors must alternate as red–green–red– $\cdots$ –red with $6$ red runs and $5$ single green marbles between them. The arrangements correspond to compositions of $16$ into $6$ positive parts, of which there are $\binom{15}{5} = 3003.$

Hence $N = 3003,$ and the remainder upon division by $1000$ is $3.$

8.

Sean $z_1,$ $z_2,$ $z_3,$ $\ldots,$ $z_{12}$ los $12$ ceros del polinomio $z^{12} - 2^{36}.$ Para cada $j,$ sea $w_j$ uno de $z_j$ o $iz_j.$ Entonces el valor máximo posible de la parte real de $\sum_{j=1}^{12} w_j$ puede escribirse como $m + \sqrt{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos. Halla $m + n.$

Let $z_1,$ $z_2,$ $z_3,$ $\ldots,$ $z_{12}$ be the $12$ zeroes of the polynomial $z^{12} - 2^{36}.$ For each $j,$ let $w_j$ be one of $z_j$ or $iz_j.$ Then the maximum possible value of the real part of $\sum_{j=1}^{12} w_j$ can be written as $m + \sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:raíces de la unidad número complejo optimización

Nivel de dificultad: 2560

Solución:

Los ceros son $z_j = 8\left(\cos\frac{\pi j}{6} + i\sin\frac{\pi j}{6}\right)$ para $j = 1, \ldots, 12,$ y $\operatorname{Re}(iz_j) = -\operatorname{Im}(z_j).$ Como las elecciones son independientes, la parte real máxima de la suma es $\sum_j 8\max\left(\cos\frac{\pi j}{6},\, -\sin\frac{\pi j}{6}\right).$

Comparando los dos valores, $-\sin\frac{\pi j}{6}$ es mayor exactamente para $j = 5, \ldots, 10.$ Los cosenos conservados, para $j = 1, 2, 3, 4, 11, 12,$ suman $\begin{aligned} &\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} + 0 - \frac{1}{2} \\ &\quad {}+ \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = 1 + \sqrt{3}, \end{aligned}$ y los valores $-\sin\frac{\pi j}{6}$ conservados, para $j = 5, \ldots, 10,$ suman $\begin{aligned} &-\frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &\quad {}+ 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + \sqrt{3}. \end{aligned}$

El máximo es $\begin{aligned} &8\left(2 + 2\sqrt{3}\right) \\ &= 16 + 16\sqrt{3} \\ &= 16 + \sqrt{768}, \end{aligned}$ así que $m + n = 16 + 768 = 784.$

The zeroes are $z_j = 8\left(\cos\frac{\pi j}{6} + i\sin\frac{\pi j}{6}\right)$ for $j = 1, \ldots, 12,$ and $\operatorname{Re}(iz_j) = -\operatorname{Im}(z_j).$ Since the choices are independent, the maximum real part of the sum is $\sum_j 8\max\left(\cos\frac{\pi j}{6},\, -\sin\frac{\pi j}{6}\right).$

Comparing the two values, $-\sin\frac{\pi j}{6}$ is larger exactly for $j = 5, \ldots, 10.$ The cosines kept, for $j = 1, 2, 3, 4, 11, 12,$ sum to $\begin{aligned} &\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} + 0 - \frac{1}{2} \\ &\quad {}+ \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = 1 + \sqrt{3}, \end{aligned}$ and the values $-\sin\frac{\pi j}{6}$ kept, for $j = 5, \ldots, 10,$ sum to $\begin{aligned} &-\frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &\quad {}+ 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + \sqrt{3}. \end{aligned}$

The maximum is $\begin{aligned} &8\left(2 + 2\sqrt{3}\right) \\ &= 16 + 16\sqrt{3} \\ &= 16 + \sqrt{768}, \end{aligned}$ so $m + n = 16 + 768 = 784.$

9.

Sean $x_1,$ $x_2,$ $\ldots,$ $x_6$ números reales no negativos tales que $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 =$ $1,$ y $x_1x_3x_5 + x_2x_4x_6 \ge \frac{1}{540}.$ Sean $p$ y $q$ enteros positivos coprimos tales que $\frac{p}{q}$ es el valor máximo posible de $\begin{aligned} &x_1x_2x_3 + x_2x_3x_4 \\ &\quad {}+ x_3x_4x_5 + x_4x_5x_6 \\ &\quad {}+ x_5x_6x_1 + x_6x_1x_2. \end{aligned}$ Halla $p + q.$

Let $x_1,$ $x_2,$ $\ldots,$ $x_6$ be nonnegative real numbers such that $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 =$ $1,$ and $x_1x_3x_5 + x_2x_4x_6 \ge \frac{1}{540}.$ Let $p$ and $q$ be positive relatively prime integers such that $\frac{p}{q}$ is the maximum possible value of $\begin{aligned} &x_1x_2x_3 + x_2x_3x_4 \\ &\quad {}+ x_3x_4x_5 + x_4x_5x_6 \\ &\quad {}+ x_5x_6x_1 + x_6x_1x_2. \end{aligned}$ Find $p + q.$

Respuesta

Conceptos:Desigualdad MA-MG factorización acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Sea $r = x_1x_3x_5 + x_2x_4x_6$ y sea $s$ la suma cíclica en cuestión. Al expandir $(x_1 + x_4)(x_2 + x_5)(x_3 + x_6)$ se producen ocho productos triples, que son exactamente los seis términos de $s$ junto con los dos términos de $r.$ Así que $r + s =$ $(x_1 + x_4)(x_2 + x_5)(x_3 + x_6),$ y por AM-GM esto es a lo sumo $\left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}.$

Por lo tanto $\begin{aligned} s &\le \frac{1}{27} - r \\ &\le \frac{1}{27} - \frac{1}{540} \\ &= \frac{20 - 1}{540} = \frac{19}{540}. \end{aligned}$ La igualdad requiere $x_1 + x_4 = x_2 + x_5 = x_3 + x_6 =$ $\frac{1}{3}$ con $r = \frac{1}{540}:$ toma $x_1 = x_3 = \frac{3}{10},$ $x_5 = \frac{1}{60},$ $x_2 = \frac{19}{60},$ $x_4 = x_6 = \frac{1}{30}.$ Entonces $r = \frac{9}{6000} + \frac{19}{54000} = \frac{100}{54000} = \frac{1}{540},$ como se requería.

Así que el máximo es $\frac{19}{540},$ y $p + q = 19 + 540 = 559.$

Let $r = x_1x_3x_5 + x_2x_4x_6$ and let $s$ be the cyclic sum in question. Expanding $(x_1 + x_4)(x_2 + x_5)(x_3 + x_6)$ produces eight triple products, which are exactly the six terms of $s$ together with the two terms of $r.$ So $r + s =$ $(x_1 + x_4)(x_2 + x_5)(x_3 + x_6),$ and by AM-GM this is at most $\left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}.$

Therefore $\begin{aligned} s &\le \frac{1}{27} - r \\ &\le \frac{1}{27} - \frac{1}{540} \\ &= \frac{20 - 1}{540} = \frac{19}{540}. \end{aligned}$ Equality needs $x_1 + x_4 = x_2 + x_5 = x_3 + x_6 =$ $\frac{1}{3}$ with $r = \frac{1}{540}:$ take $x_1 = x_3 = \frac{3}{10},$ $x_5 = \frac{1}{60},$ $x_2 = \frac{19}{60},$ $x_4 = x_6 = \frac{1}{30}.$ Then $r = \frac{9}{6000} + \frac{19}{54000} = \frac{100}{54000} = \frac{1}{540},$ as required.

So the maximum is $\frac{19}{540},$ and $p + q = 19 + 540 = 559.$

10.

Un círculo con centro $O$ tiene radio $25.$ La cuerda $\overline{AB}$ de longitud $30$ y la cuerda $\overline{CD}$ de longitud $14$ se cortan en el punto $P.$ La distancia entre los puntos medios de las dos cuerdas es $12.$ La cantidad $OP^2$ puede representarse como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos coprimos. Halla el residuo cuando $m + n$ se divide entre $1000.$

A circle with center $O$ has radius $25.$ Chord $\overline{AB}$ of length $30$ and chord $\overline{CD}$ of length $14$ intersect at point $P.$ The distance between the midpoints of the two chords is $12.$ The quantity $OP^2$ can be represented as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find the remainder when $m + n$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:cuerda cuadrilátero cíclico ley de los cosenos ley de los senos

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $\overline{AB}$ y $\overline{CD}.$ El segmento del centro al punto medio de una cuerda es perpendicular a la cuerda, así que $OM = \sqrt{25^2 - 15^2} = 20$ y $ON = \sqrt{25^2 - 7^2} = 24,$ con $MN = 12.$

Como $P$ está sobre ambas cuerdas, $\angle OMP = \angle ONP = 90^\circ,$ así que $M$ y $N$ están sobre el círculo de diámetro $OP.$ En el triángulo $OMN,$ la ley de cosenos da $\begin{aligned} \cos \angle MON &= \frac{20^2 + 24^2 - 12^2}{2 \cdot 20 \cdot 24} \\ &= \frac{832}{960} = \frac{13}{15}, \end{aligned}$ así que $\sin \angle MON = \frac{2\sqrt{14}}{15}.$ En el círculo que pasa por $O,$ $M,$ $P,$ $N,$ la ley de senos extendida dice que la cuerda $MN$ es igual al diámetro $OP$ por $\sin \angle MON,$ así que $\begin{aligned} OP &= \frac{12}{\frac{2\sqrt{14}}{15}} = \frac{90}{\sqrt{14}}, \end{aligned}$ $\begin{aligned} OP^2 &= \frac{8100}{14} = \frac{4050}{7}. \end{aligned}$

Entonces $m + n = 4050 + 7 = 4057,$ que deja residuo $57$ al dividir entre $1000.$

Let $M$ and $N$ be the midpoints of $\overline{AB}$ and $\overline{CD}.$ The segment from the center to a chord's midpoint is perpendicular to the chord, so $OM = \sqrt{25^2 - 15^2} = 20$ and $ON = \sqrt{25^2 - 7^2} = 24,$ with $MN = 12.$

Since $P$ lies on both chords, $\angle OMP = \angle ONP = 90^\circ,$ so $M$ and $N$ lie on the circle with diameter $OP.$ In triangle $OMN,$ the law of cosines gives $\begin{aligned} \cos \angle MON &= \frac{20^2 + 24^2 - 12^2}{2 \cdot 20 \cdot 24} \\ &= \frac{832}{960} = \frac{13}{15}, \end{aligned}$ so $\sin \angle MON = \frac{2\sqrt{14}}{15}.$ In the circle through $O,$ $M,$ $P,$ $N,$ the extended law of sines says the chord $MN$ equals the diameter $OP$ times $\sin \angle MON,$ so $\begin{aligned} OP &= \frac{12}{\frac{2\sqrt{14}}{15}} = \frac{90}{\sqrt{14}}, \end{aligned}$ $\begin{aligned} OP^2 &= \frac{8100}{14} = \frac{4050}{7}. \end{aligned}$

Then $m + n = 4050 + 7 = 4057,$ which leaves remainder $57$ upon division by $1000.$

11.

Sea $M_n$ la matriz $n \times n$ con las entradas siguientes: para $1 \le i \le n,$ $m_{i,i} = 10;$ para $1 \le i \le n - 1,$ $m_{i+1,i} = m_{i,i+1} = 3;$ todas las demás entradas de $M_n$ son cero. Sea $D_n$ el determinante de la matriz $M_n.$ Entonces $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{8D_n + 1}$ puede representarse como $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos coprimos. Halla $p + q.$

Nota: el determinante de la matriz $1 \times 1$ $[a]$ es $a,$ y el determinante de la matriz $2 \times 2$ $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc;$ para $n \ge 2,$ el determinante de una matriz $n \times n$ con primera fila o primera columna $a_1$ $a_2$ $a_3$ $\ldots$ $a_n$ es igual a $a_1C_1 - a_2C_2$ $+ a_3C_3 - \cdots$ $+ (-1)^{n+1}a_nC_n,$ donde $C_i$ es el determinante de la matriz $(n - 1) \times (n - 1)$ formada al eliminar la fila y la columna que contienen $a_i.$

Let $M_n$ be the $n \times n$ matrix with entries as follows: for $1 \le i \le n,$ $m_{i,i} = 10;$ for $1 \le i \le n - 1,$ $m_{i+1,i} = m_{i,i+1} = 3;$ all other entries in $M_n$ are zero. Let $D_n$ be the determinant of matrix $M_n.$ Then $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{8D_n + 1}$ can be represented as $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q.$

Note: The determinant of the $1 \times 1$ matrix $[a]$ is $a,$ and the determinant of the $2 \times 2$ matrix $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc;$ for $n \ge 2,$ the determinant of an $n \times n$ matrix with first row or first column $a_1$ $a_2$ $a_3$ $\ldots$ $a_n$ is equal to $a_1C_1 - a_2C_2$ $+ a_3C_3 - \cdots$ $+ (-1)^{n+1}a_nC_n,$ where $C_i$ is the determinant of the $(n - 1) \times (n - 1)$ matrix formed by eliminating the row and column containing $a_i.$

Respuesta

Conceptos:determinante recursión sucesión geométrica

Nivel de dificultad: 2920

Solución:

Al expandir $D_n$ a lo largo de la primera fila se obtiene $10 D_{n-1}$ menos $3$ por un cofactor cuya primera columna es $(3, 0, \ldots, 0);$ expandir ese cofactor por su primera columna deja $3 D_{n-2}.$ Por lo tanto $D_n = 10 D_{n-1} - 9 D_{n-2},$ con $D_1 = 10$ y $D_2 = 100 - 9 = 91.$

La ecuación característica $k^2 = 10k - 9$ tiene raíces $9$ y $1,$ y ajustar los valores iniciales da $D_n = \frac{9^{n+1} - 1}{8}.$ Por lo tanto $8D_n + 1 = 9^{n+1},$ y $\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{8D_n + 1} &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{9^{n+1}} \\ &= \frac{1/81}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{1}{72}. \end{aligned}$

Así que $\frac{p}{q} = \frac{1}{72}$ y $p + q = 73.$

Expanding $D_n$ along the first row gives $10 D_{n-1}$ minus $3$ times a cofactor whose first column is $(3, 0, \ldots, 0);$ expanding that cofactor down its first column leaves $3 D_{n-2}.$ Hence $D_n = 10 D_{n-1} - 9 D_{n-2},$ with $D_1 = 10$ and $D_2 = 100 - 9 = 91.$

The characteristic equation $k^2 = 10k - 9$ has roots $9$ and $1,$ and fitting the initial values gives $D_n = \frac{9^{n+1} - 1}{8}.$ Therefore $8D_n + 1 = 9^{n+1},$ and $\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{8D_n + 1} &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{9^{n+1}} \\ &= \frac{1/81}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{1}{72}. \end{aligned}$

Thus $\frac{p}{q} = \frac{1}{72}$ and $p + q = 73.$

12.

Nueve delegados, tres de cada uno de tres países diferentes, eligen al azar sillas en una mesa redonda con capacidad para nueve personas. Sea $\frac{m}{n}$ la probabilidad de que cada delegado se siente junto a al menos un delegado de otro país, donde $m$ y $n$ son enteros positivos coprimos. Halla $m + n.$

Nine delegates, three each from three different countries, randomly select chairs at a round table that seats nine people. Let the probability that each delegate sits next to at least one delegate from another country be $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:arreglos circulares conteo complementario inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Solo importa el patrón de países en las nueve sillas, y los $\frac{9!}{3!\,3!\,3!} = 1680$ patrones son igualmente probables. La condición falla para algún delegado exactamente cuando sus dos vecinos son compatriotas, lo cual ocurre exactamente cuando los tres delegados de algún país ocupan tres sillas consecutivas. Sea $A_i$ el conjunto de patrones en los que los delegados del país $i$ son consecutivos.

Hay $9$ tríos de sillas consecutivas, así que $|A_i| = 9\binom{6}{3} = 180,$ al elegir cuáles $3$ de las $6$ sillas restantes van a uno de los otros países. Para dos países, después de colocar el primer bloque ( $9$ formas) las seis sillas restantes forman un arco que contiene $4$ tríos de sillas consecutivas, así que $|A_i \cap A_j| = 9 \cdot 4 = 36.$ Para los tres, el círculo debe dividirse en tres tríos consecutivos ( $3$ formas) asignados a los países en $3!$ órdenes: $|A_1 \cap A_2 \cap A_3| = 18.$ Por inclusión-exclusión, $\begin{aligned} |A_1 \cup A_2 \cup A_3| &= 3 \cdot 180 - 3 \cdot 36 \\ &\quad {}+ 18 = 450. \end{aligned}$

La probabilidad es $1 - \frac{450}{1680} = 1 - \frac{15}{56} = \frac{41}{56},$ así que $m + n = 41 + 56 = 97.$

Only the pattern of countries in the nine chairs matters, and all $\frac{9!}{3!\,3!\,3!} = 1680$ patterns are equally likely. The condition fails for some delegate exactly when both of his neighbors are compatriots, which happens exactly when some country's three delegates occupy three consecutive chairs. Let $A_i$ be the set of patterns in which country $i$ 's delegates are consecutive.

There are $9$ triples of consecutive chairs, so $|A_i| = 9\binom{6}{3} = 180,$ choosing which $3$ of the remaining $6$ chairs go to one of the other countries. For two countries, after placing the first block ( $9$ ways) the remaining six chairs form an arc containing $4$ triples of consecutive chairs, so $|A_i \cap A_j| = 9 \cdot 4 = 36.$ For all three, the circle must split into three consecutive triples ( $3$ ways) assigned to the countries in $3!$ orders: $|A_1 \cap A_2 \cap A_3| = 18.$ By inclusion-exclusion, $\begin{aligned} |A_1 \cup A_2 \cup A_3| &= 3 \cdot 180 - 3 \cdot 36 \\ &\quad {}+ 18 = 450. \end{aligned}$

The probability is $1 - \frac{450}{1680} = 1 - \frac{15}{56} = \frac{41}{56},$ so $m + n = 41 + 56 = 97.$

13.

El punto $P$ está sobre la diagonal $AC$ del cuadrado $ABCD$ con $AP \gt CP.$ Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de los triángulos $ABP$ y $CDP,$ respectivamente. Dado que $AB = 12$ y $\angle O_1PO_2 = 120^\circ,$ entonces $AP = \sqrt{a} + \sqrt{b},$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos. Halla $a + b.$

Point $P$ lies on the diagonal $AC$ of square $ABCD$ with $AP \gt CP.$ Let $O_1$ and $O_2$ be the circumcenters of triangles $ABP$ and $CDP,$ respectively. Given that $AB = 12$ and $\angle O_1PO_2 = 120^\circ,$ then $AP = \sqrt{a} + \sqrt{b},$ where $a$ and $b$ are positive integers. Find $a + b.$

Respuesta

Conceptos:circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio geometría analítica vector

Nivel de dificultad: 3160

Solución:

Coloca $A = (0, 0),$ $B = (12, 0),$ $C = (12, 12),$ $D = (0, 12),$ y $P = (p, p)$ con $p \gt 6.$ Como $O_1$ es equidistante de $A$ y $B,$ está sobre $x = 6;$ al poner $O_1 = (6, k)$ e igualar $O_1A^2 = O_1P^2$ se obtiene $k = p - 6,$ así que $O_1 = (6,\, p - 6).$ De forma similar $O_2,$ equidistante de $C$ y $D,$ es $O_2 = (6,\, p + 6).$

Los vectores desde $P$ a los centros son $(6 - p,\, -6)$ y $(6 - p,\, 6),$ así que $\begin{aligned} \cos 120^\circ &= \frac{(6 - p)^2 - 36}{(6 - p)^2 + 36} \\ &= -\frac{1}{2}, \end{aligned}$ lo cual da $3(p - 6)^2 = 36,$ así que $(p - 6)^2 = 12$ y $p = 6 + 2\sqrt{3}.$

Entonces $AP = p\sqrt{2} = 6\sqrt{2} + 2\sqrt{6} =$ $\sqrt{72} + \sqrt{24},$ así que $a + b = 72 + 24 = 96.$

Place $A = (0, 0),$ $B = (12, 0),$ $C = (12, 12),$ $D = (0, 12),$ and $P = (p, p)$ with $p \gt 6.$ Since $O_1$ is equidistant from $A$ and $B,$ it lies on $x = 6;$ setting $O_1 = (6, k)$ and equating $O_1A^2 = O_1P^2$ gives $k = p - 6,$ so $O_1 = (6,\, p - 6).$ Similarly $O_2,$ equidistant from $C$ and $D,$ is $O_2 = (6,\, p + 6).$

The vectors from $P$ to the centers are $(6 - p,\, -6)$ and $(6 - p,\, 6),$ so $\begin{aligned} \cos 120^\circ &= \frac{(6 - p)^2 - 36}{(6 - p)^2 + 36} \\ &= -\frac{1}{2}, \end{aligned}$ which gives $3(p - 6)^2 = 36,$ so $(p - 6)^2 = 12$ and $p = 6 + 2\sqrt{3}.$

Then $AP = p\sqrt{2} = 6\sqrt{2} + 2\sqrt{6} =$ $\sqrt{72} + \sqrt{24},$ so $a + b = 72 + 24 = 96.$

14.

Hay $N$ permutaciones $(a_1, a_2, \ldots, a_{30})$ de $1, 2, \ldots, 30$ tales que para $m \in \{2, 3, 5\},$ $m$ divide a $a_{n+m} - a_n$ para todos los enteros $n$ con $1 \le n \lt n + m \le 30.$ Halla el residuo cuando $N$ se divide entre $1000.$

There are $N$ permutations $(a_1, a_2, \ldots, a_{30})$ of $1, 2, \ldots, 30$ such that for $m \in \{2, 3, 5\},$ $m$ divides $a_{n+m} - a_n$ for all integers $n$ with $1 \le n \lt n + m \le 30.$ Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:Teorema chino del resto aritmética modular permutaciones

Nivel de dificultad: 3270

Solución:

Para cada $m \in \{2, 3, 5\},$ la condición $a_{n+m} \equiv a_n \pmod{m}$ significa que el residuo de $a_n$ módulo $m$ depende solo de $n \bmod m,$ definiendo una aplicación $\sigma_m$ de residuos a residuos. Cada clase de residuos de posiciones tiene $\frac{30}{m}$ miembros, y lo mismo cada clase de residuos de valores; si $\sigma_m$ enviara dos clases de posiciones a la misma clase de valores, los $\frac{30}{m}$ valores de esa clase tendrían que llenar $\frac{60}{m}$ posiciones, lo cual es imposible. Así que cada $\sigma_m$ es una permutación de los residuos módulo $m.$

Recíprocamente, por el teorema chino del resto cada posición $n \in \{1, \ldots, 30\}$ corresponde a una única tripleta $(n \bmod 2,\, n \bmod 3,\, n \bmod 5),$ y lo mismo para los valores. Cualquier elección de permutaciones $(\sigma_2, \sigma_3, \sigma_5)$ determina, por lo tanto, una única permutación válida de $1, \ldots, 30,$ que envía la tripleta de posición a la tripleta de valor prescrita.

Por lo tanto $N = 2! \cdot 3! \cdot 5! = 1440,$ y el residuo al dividir entre $1000$ es $440.$

For each $m \in \{2, 3, 5\},$ the condition $a_{n+m} \equiv a_n \pmod{m}$ means the residue of $a_n$ modulo $m$ depends only on $n \bmod m,$ defining a map $\sigma_m$ from residues to residues. Each residue class of positions has $\frac{30}{m}$ members, and so does each residue class of values; if $\sigma_m$ sent two position classes to the same value class, that class's $\frac{30}{m}$ values would have to fill $\frac{60}{m}$ positions, which is impossible. So each $\sigma_m$ is a permutation of the residues modulo $m.$

Conversely, by the Chinese remainder theorem each position $n \in \{1, \ldots, 30\}$ corresponds to a unique triple $(n \bmod 2,\, n \bmod 3,\, n \bmod 5),$ and likewise for values. Any choice of permutations $(\sigma_2, \sigma_3, \sigma_5)$ therefore determines a unique valid permutation of $1, \ldots, 30,$ sending the position triple to the prescribed value triple.

Hence $N = 2! \cdot 3! \cdot 5! = 1440,$ and the remainder upon division by $1000$ is $440.$

15.

Sea $P(x) = x^2 - 3x - 9.$ Se elige al azar un número real $x$ del intervalo $5 \le x \le 15.$ La probabilidad de que $\left\lfloor \sqrt{P(x)} \right\rfloor = \sqrt{P(\lfloor x \rfloor)}$ es igual a $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} - d}{e},$ donde $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ y $e$ son enteros positivos. Halla $a + b + c + d + e.$

Let $P(x) = x^2 - 3x - 9.$ A real number $x$ is chosen at random from the interval $5 \le x \le 15.$ The probability that $\left\lfloor \sqrt{P(x)} \right\rfloor = \sqrt{P(\lfloor x \rfloor)}$ is equal to $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} - d}{e},$ where $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ and $e$ are positive integers. Find $a + b + c + d + e.$

Respuesta

Conceptos:funciones piso y techo probabilidad geométrica cuadrado perfecto análisis por casos

Nivel de dificultad: 3370

Solución:

Para $x \in [n, n + 1)$ el lado derecho es $\sqrt{P(n)},$ que debe ser entero, así que $P(n) = n^2 - 3n - 9$ debe ser un cuadrado perfecto. Para $n = 5, 6, \ldots, 14$ los valores son $1, 9, 19, 31, 45,$ $61, 79, 99, 121, 145:$ solo $n = 5, 6, 13$ dan cuadrados, con $\sqrt{P(n)} = 1, 3, 11$ respectivamente.

$P$ es creciente en $[5, 15],$ así que para $x \in [n, n + 1)$ tenemos automáticamente $\sqrt{P(x)} \ge \sqrt{P(n)},$ y $\left\lfloor \sqrt{P(x)} \right\rfloor = \sqrt{P(n)} = m$ se cumple exactamente cuando $P(x) \lt (m + 1)^2,$ es decir $x \lt \frac{3 + \sqrt{45 + 4(m+1)^2}}{2}.$ Para $m = 1, 3, 11$ los cortes son $\frac{3 + \sqrt{61}}{2},$ $\frac{3 + \sqrt{109}}{2},$ $\frac{3 + \sqrt{621}}{2},$ cada uno dentro del intervalo unitario correspondiente, así que los subintervalos exitosos tienen longitudes $\frac{\sqrt{61} - 7}{2},$ $\frac{\sqrt{109} - 9}{2},$ $\frac{\sqrt{621} - 23}{2}.$

El intervalo $[5, 15]$ tiene longitud $10,$ así que la probabilidad es $\begin{aligned} &\frac{1}{10} \\ &\quad {}\cdot \frac{\sqrt{61} + \sqrt{109} + \sqrt{621} - 39}{2} \\ &= \frac{\sqrt{61} + \sqrt{109} + \sqrt{621} - 39}{20}, \end{aligned}$ dando $a + b + c + d + e =$ $61 + 109 + 621 + 39 + 20 =$ $850.$

For $x \in [n, n + 1)$ the right-hand side is $\sqrt{P(n)},$ which must be an integer, so $P(n) = n^2 - 3n - 9$ must be a perfect square. For $n = 5, 6, \ldots, 14$ the values are $1, 9, 19, 31, 45,$ $61, 79, 99, 121, 145:$ only $n = 5, 6, 13$ give squares, with $\sqrt{P(n)} = 1, 3, 11$ respectively.

$P$ is increasing on $[5, 15],$ so for $x \in [n, n + 1)$ we automatically have $\sqrt{P(x)} \ge \sqrt{P(n)},$ and $\left\lfloor \sqrt{P(x)} \right\rfloor = \sqrt{P(n)} = m$ holds exactly when $P(x) \lt (m + 1)^2,$ i.e. $x \lt \frac{3 + \sqrt{45 + 4(m+1)^2}}{2}.$ For $m = 1, 3, 11$ the cutoffs are $\frac{3 + \sqrt{61}}{2},$ $\frac{3 + \sqrt{109}}{2},$ $\frac{3 + \sqrt{621}}{2},$ each lying inside the corresponding unit interval, so the successful subintervals have lengths $\frac{\sqrt{61} - 7}{2},$ $\frac{\sqrt{109} - 9}{2},$ $\frac{\sqrt{621} - 23}{2}.$

The interval $[5, 15]$ has length $10,$ so the probability is $\begin{aligned} &\frac{1}{10} \\ &\quad {}\cdot \frac{\sqrt{61} + \sqrt{109} + \sqrt{621} - 39}{2} \\ &= \frac{\sqrt{61} + \sqrt{109} + \sqrt{621} - 39}{20}, \end{aligned}$ giving $a + b + c + d + e =$ $61 + 109 + 621 + 39 + 20 =$ $850.$