Question

En el desarrollo de $(ax + b)^{2000},$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos primos entre sí, los coeficientes de $x^2$ y $x^3$ son iguales. Halla $a + b.$

In the expansion of $(ax + b)^{2000},$ where $a$ and $b$ are relatively prime positive integers, the coefficients of $x^2$ and $x^3$ are equal. Find $a + b.$

Respuesta

Solución:

Por el teorema del binomio, los coeficientes de $x^2$ y $x^3$ son $\binom{2000}{2} a^2 b^{1998}$ y $\binom{2000}{3} a^3 b^{1997}.$ Igualándolos y cancelando $a^2 b^{1997}$ se obtiene $\binom{2000}{2} b = \binom{2000}{3} a,$ de modo que $b = \frac{1998}{3}\,a = 666a.$

Como $\gcd(a, b) = 1,$ debe ser $a = 1$ y $b = 666,$ así que $a + b = 667.$

By the binomial theorem, the coefficients of $x^2$ and $x^3$ are $\binom{2000}{2} a^2 b^{1998}$ and $\binom{2000}{3} a^3 b^{1997}.$ Setting them equal and cancelling $a^2 b^{1997}$ gives $\binom{2000}{2} b = \binom{2000}{3} a,$ so $b = \frac{1998}{3}\,a = 666a.$

Since $\gcd(a, b) = 1,$ we must have $a = 1$ and $b = 666,$ so $a + b = 667.$

2000 AIME I Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años