Question

Halle el número de $7$ -tuplas de enteros positivos $(a, b, c, d, e, f, g)$ que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones: $abc = 70,$ $cde = 71,$ $efg = 72.$

Find the number of $7$ -tuples of positive integers $(a, b, c, d, e, f, g)$ that satisfy the following system of equations: $abc = 70,$ $cde = 71,$ $efg = 72.$

Respuesta

Solución:

Como $71$ es primo, en $cde = 71$ uno de los tres factores es $71$ y los otros dos valen $1.$ Pero $c$ divide a $abc = 70$ y $e$ divide a $efg = 72,$ y $71$ no divide ni a $70$ ni a $72.$ Así que $c = e = 1$ y $d = 71.$

El sistema se reduce a $ab = 70$ y $fg = 72.$ Cada divisor $a$ de $70$ determina $b,$ dando $\tau(70) = 8$ pares ordenados, y de igual modo $\tau(72) = 12$ pares ordenados $(f, g).$ El total es $8 \cdot 12 = 96.$

Since $71$ is prime, in $cde = 71$ one of the three factors is $71$ and the other two equal $1.$ But $c$ divides $abc = 70$ and $e$ divides $efg = 72,$ and $71$ divides neither $70$ nor $72.$ So $c = e = 1$ and $d = 71.$

The system reduces to $ab = 70$ and $fg = 72.$ Each divisor $a$ of $70$ determines $b,$ giving $\tau(70) = 8$ ordered pairs, and likewise $\tau(72) = 12$ ordered pairs $(f, g).$ The total is $8 \cdot 12 = 96.$

2019 AIME II Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años