Question

Dave llega a un aeropuerto que tiene doce puertas dispuestas en línea recta con exactamente $100$ pies entre puertas adyacentes. Su puerta de salida se asigna al azar. Después de esperar en esa puerta, a Dave le informan que la puerta de salida se ha cambiado a una puerta distinta, de nuevo al azar. Sea la probabilidad de que Dave camine $400$ pies o menos hasta la nueva puerta una fracción $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Dave arrives at an airport which has twelve gates arranged in a straight line with exactly $100$ feet between adjacent gates. His departure gate is assigned at random. After waiting at that gate, Dave is told the departure gate has been changed to a different gate, again at random. Let the probability that Dave walks $400$ feet or less to the new gate be a fraction $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Numera las puertas de $1$ a $12.$ Los $12 \cdot 11 = 132$ pares ordenados de puertas distintas (antigua, nueva) son igualmente probables, y Dave camina $400$ pies o menos exactamente cuando los números de las puertas difieren en a lo sumo $4.$

Una puerta $i$ tiene $\min(i + 4, 12) - \max(i - 4, 1)$ puertas nuevas válidas: las puertas $1$ y $12$ tienen $4$ cada una, las puertas $2$ y $11$ tienen $5,$ las puertas $3$ y $10$ tienen $6,$ las puertas $4$ y $9$ tienen $7,$ y las puertas $5$ a $8$ tienen $8$ cada una. El total es $2(4 + 5 + 6 + 7) + 4 \cdot 8 = 76.$

La probabilidad es $\frac{76}{132} = \frac{19}{33},$ así que $m + n = 19 + 33 = 52.$

Number the gates $1$ through $12.$ All $12 \cdot 11 = 132$ ordered pairs of distinct (old, new) gates are equally likely, and Dave walks $400$ feet or less exactly when the gate numbers differ by at most $4.$

A gate $i$ has $\min(i + 4, 12) - \max(i - 4, 1)$ qualifying new gates: gates $1$ and $12$ have $4$ each, gates $2$ and $11$ have $5,$ gates $3$ and $10$ have $6,$ gates $4$ and $9$ have $7,$ and gates $5$ through $8$ have $8$ each. The total is $2(4 + 5 + 6 + 7) + 4 \cdot 8 = 76.$

The probability is $\frac{76}{132} = \frac{19}{33},$ so $m + n = 19 + 33 = 52.$

2010 AIME II Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años