Question

Tres planetas giran alrededor de una estrella en órbitas circulares coplanares con la estrella en el centro. Todos los planetas giran en la misma dirección, cada uno a velocidad constante, y los periodos de sus órbitas son $60,$ $84,$ y $140$ años. Las posiciones de la estrella y los tres planetas son actualmente colineales. La próxima vez que serán colineales será dentro de $n$ años. Halla $n.$

Three planets revolve about a star in coplanar circular orbits with the star at the center. All planets revolve in the same direction, each at a constant speed, and the periods of their orbits are $60,$ $84,$ and $140$ years. The positions of the star and all three planets are currently collinear. They will next be collinear after $n$ years. Find $n.$

Respuesta

Solución:

Los cuatro cuerpos están sobre una misma recta exactamente cuando cada par de planetas es colineal con la estrella, es decir, cuando las posiciones angulares de cada par difieren en un múltiplo de $180^\circ,$ media revolución. En $n$ años los planetas completan $\frac{n}{60},$ $\frac{n}{84},$ y $\frac{n}{140}$ revoluciones, así que las diferencias entre pares son $\begin{aligned} &\frac{n}{60} - \frac{n}{84} = \frac{n}{210}, \\ &\frac{n}{84} - \frac{n}{140} = \frac{n}{210}, \\ &\frac{n}{60} - \frac{n}{140} = \frac{n}{105}. \end{aligned}$

Necesitamos que $\frac{n}{210}$ y $\frac{n}{105}$ sean múltiplos de $\frac{1}{2}.$ La primera requiere que $n$ sea múltiplo de $105,$ y cualquier $n$ así hace que $\frac{n}{105}$ sea entero. La menor opción positiva es $n = 105.$

All four bodies lie on one line exactly when every pair of planets is collinear with the star, i.e. when each pair's angular positions differ by a multiple of $180^\circ$ — half a revolution. In $n$ years the planets complete $\frac{n}{60},$ $\frac{n}{84},$ and $\frac{n}{140}$ revolutions, so the pairwise differences are $\begin{aligned} &\frac{n}{60} - \frac{n}{84} = \frac{n}{210}, \\ &\frac{n}{84} - \frac{n}{140} = \frac{n}{210}, \\ &\frac{n}{60} - \frac{n}{140} = \frac{n}{105}. \end{aligned}$

We need $\frac{n}{210}$ and $\frac{n}{105}$ to be multiples of $\frac{1}{2}.$ The first requires $n$ to be a multiple of $105,$ and any such $n$ makes $\frac{n}{105}$ an integer. The smallest positive choice is $n = 105.$

2007 AIME I Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años