Question

Un grupo de niños celebró un concurso de comer uvas. Cuando terminó el concurso, el ganador había comido $n$ uvas, y el niño en el $k$ -ésimo lugar había comido $n + 2 - 2k$ uvas. El número total de uvas comidas en el concurso fue $2009.$ Halla el menor valor posible de $n.$

A group of children held a grape-eating contest. When the contest was over, the winner had eaten $n$ grapes, and the child in $k$ th place had eaten $n + 2 - 2k$ grapes. The total number of grapes eaten in the contest was $2009.$ Find the smallest possible value of $n.$

Respuesta

Solución:

Sea $c$ el número de niños. Las cantidades de uvas $n,$ $n - 2,$ $\ldots,$ $n + 2 - 2c$ forman una progresión aritmética, así que el total es $c$ por el promedio del primer y último término: $\begin{aligned} &c \cdot \frac{n + (n + 2 - 2c)}{2} \\ &= c(n + 1 - c) \\ &= 2009 = 7^2 \cdot 41. \end{aligned}$ Por lo tanto $c \mid 2009$ y $n = \frac{2009}{c} + c - 1.$

El niño en último lugar comió $n + 2 - 2c = \frac{2009}{c} + 1 - c \ge 0$ uvas, lo que obliga a $c(c - 1) \le 2009,$ descartando $c = 49,$ $287,$ y $2009.$ Los divisores restantes dan $n = 2009$ para $c = 1,$ $n = 287 + 6 = 293$ para $c = 7,$ y $n = 49 + 40 = 89$ para $c = 41.$

El menor valor posible es $n = 89.$

Let $c$ be the number of children. The grape counts $n,$ $n - 2,$ $\ldots,$ $n + 2 - 2c$ form an arithmetic sequence, so the total is $c$ times the average of the first and last terms: $\begin{aligned} &c \cdot \frac{n + (n + 2 - 2c)}{2} \\ &= c(n + 1 - c) \\ &= 2009 = 7^2 \cdot 41. \end{aligned}$ Thus $c \mid 2009$ and $n = \frac{2009}{c} + c - 1.$

The last-place child ate $n + 2 - 2c = \frac{2009}{c} + 1 - c \ge 0$ grapes, which forces $c(c - 1) \le 2009,$ ruling out $c = 49,$ $287,$ and $2009.$ The remaining divisors give $n = 2009$ for $c = 1,$ $n = 287 + 6 = 293$ for $c = 7,$ and $n = 49 + 40 = 89$ for $c = 41.$

The smallest possible value is $n = 89.$

2009 AIME II Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años