Question

Butch y Sundance necesitan salir de Dodge. Para avanzar lo más rápido posible, cada uno alterna caminar y montar su único caballo, Sparky, de la siguiente manera. Butch empieza caminando mientras Sundance monta. Cuando Sundance llega al primero de los postes de amarre, convenientemente ubicados a intervalos de una milla a lo largo de su ruta, ata a Sparky al poste y empieza a caminar. Cuando Butch alcanza a Sparky, monta hasta que rebasa a Sundance, luego deja a Sparky en el siguiente poste de amarre y reanuda la caminata, y continúan de esta manera. Sparky, Butch y Sundance caminan a $6,$ $4,$ y $2.5$ millas por hora, respectivamente. La primera vez que Butch y Sundance se encuentran en un poste kilométrico, están a $n$ millas de Dodge, y han estado viajando durante $t$ minutos. Halla $n + t.$

Butch and Sundance need to get out of Dodge. To travel as quickly as possible, each alternates walking and riding their only horse, Sparky, as follows. Butch begins by walking while Sundance rides. When Sundance reaches the first of the hitching posts that are conveniently located at one-mile intervals along their route, he ties Sparky to the post and begins walking. When Butch reaches Sparky, he rides until he passes Sundance, then leaves Sparky at the next hitching post and resumes walking, and they continue in this manner. Sparky, Butch, and Sundance walk at $6,$ $4,$ and $2.5$ miles per hour, respectively. The first time Butch and Sundance meet at a milepost, they are $n$ miles from Dodge, and they have been traveling for $t$ minutes. Find $n + t.$

Respuesta

Solución:

Caminar una milla le toma a Sparky $10$ minutos, a Butch $15,$ y a Sundance $24.$ El caballo avanza por la misma ruta que los hombres y en cada milla lo monta exactamente uno de ellos, así que si Butch camina $x$ de las $n$ millas y monta las otras $n - x,$ entonces Sundance monta esas $x$ millas y camina las restantes $n - x.$

Cuando se encuentran en un poste kilométrico, han estado viajando durante el mismo tiempo, así que $\begin{aligned} &15x + 10(n - x) \\ &= 10x + 24(n - x), \end{aligned}$ lo cual se simplifica a $19x = 14n.$ Como los relevos ocurren en los postes, $x$ y $n$ son enteros, y la menor solución positiva es $x = 14,$ $n = 19.$

Entonces $t = 15 \cdot 14 + 10 \cdot 5 = 260$ minutos, así que $n + t = 19 + 260 = 279.$

Walking a mile takes Sparky $10$ minutes, Butch $15,$ and Sundance $24.$ The horse advances along the same route as the men and is ridden over each mile by exactly one of them, so if Butch walks $x$ of the $n$ miles and rides the other $n - x,$ then Sundance rides those $x$ miles and walks the remaining $n - x.$

When they meet at a milepost they have been traveling for the same amount of time, so $\begin{aligned} &15x + 10(n - x) \\ &= 10x + 24(n - x), \end{aligned}$ which simplifies to $19x = 14n.$ Since the handoffs happen at mileposts, $x$ and $n$ are integers, and the smallest positive solution is $x = 14,$ $n = 19.$

Then $t = 15 \cdot 14 + 10 \cdot 5 = 260$ minutes, so $n + t = 19 + 260 = 279.$

2012 AIME I Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años