Question

Sea $N$ el número de dígitos $0$ consecutivos al final de la representación decimal del producto $1!\,2!\,3!\,4! \cdots 99!\,100!.$ Halla el residuo cuando $N$ se divide entre $1000.$

Let $N$ be the number of consecutive $0$ ’s at the right end of the decimal representation of the product $1!\,2!\,3!\,4! \cdots 99!\,100!.$ Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

Respuesta

Respuesta: 124

Conceptos:ceros finales factorial sumatoria

Nivel de dificultad: 2400

Pista pequeña:

Cuenta los factores de $5:$ el entero $j$ aparece como factor en exactamente $101 - j$ de los factoriales

Count factors of $5:$ the integer $j$ appears as a factor in exactly $101 - j$ of the factorials

Pista grande:

Suma $101 - j$ sobre todos los múltiplos de $5,$ luego añade la misma suma sobre los múltiplos de $25$ por su segundo factor de $5$

Sum $101 - j$ over all multiples of $5,$ then add the same sum over multiples of $25$ for their second factor of $5$

Solución:

Los factores de $2$ abundan, así que $N$ es el exponente de $5$ en el producto. Cada entero $j$ con $1 \le j \le 100$ aparece como factor en exactamente $101 - j$ de los factoriales, a saber $j!, (j+1)!, \ldots, 100!.$

Cada múltiplo de $5$ aporta un factor de $5$ por cada aparición, y cada múltiplo de $25$ aporta uno más. Sobre $j = 5, 10, \ldots, 100$ las apariciones suman $96 + 91 + \cdots + 1 = \frac{20 \cdot 97}{2} = 970,$ y sobre $j = 25, 50, 75, 100$ suman $76 + 51 + 26 + 1 = 154.$

Por lo tanto $N = 970 + 154 = 1124,$ y el residuo al dividir entre $1000$ es $124.$

Factors of $2$ are plentiful, so $N$ is the exponent of $5$ in the product. Each integer $j$ with $1 \le j \le 100$ appears as a factor in exactly $101 - j$ of the factorials, namely $j!, (j+1)!, \ldots, 100!.$

Every multiple of $5$ contributes one factor of $5$ per appearance, and every multiple of $25$ contributes one more. Over $j = 5, 10, \ldots, 100$ the appearances total $96 + 91 + \cdots + 1 = \frac{20 \cdot 97}{2} = 970,$ and over $j = 25, 50, 75, 100$ they total $76 + 51 + 26 + 1 = 154.$

Hence $N = 970 + 154 = 1124,$ and the remainder upon division by $1000$ is $124.$

2006 AIME I Problema 4

Respuesta: 124

Nivel de dificultad: 2400

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años