Question

Existen enteros positivos únicos $x$ e $y$ que satisfacen la ecuación $x^2 + 84x + 2008 = y^2.$ Halla $x + y.$

There exist unique positive integers $x$ and $y$ that satisfy the equation $x^2 + 84x + 2008 = y^2.$ Find $x + y.$

Respuesta

Respuesta: 80

Conceptos:Ecuación diofántica completar el cuadrado diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Compara $x^2 + 84x + 2008$ con $(x + 42)^2 = x^2 + 84x + 1764$

Compare $x^2 + 84x + 2008$ with $(x + 42)^2 = x^2 + 84x + 1764$

Pista grande:

Escribe $y^2 - (x + 42)^2 = 244$ y factoriza: $244 = 2 \cdot 2 \cdot 61,$ y ambos factores de la diferencia de cuadrados deben ser pares

Write $y^2 - (x + 42)^2 = 244$ and factor: $244 = 2 \cdot 2 \cdot 61,$ and both factors of the difference of squares must be even

Solución:

Completando el cuadrado, $x^2 + 84x + 2008$ $= (x + 42)^2 + 244,$ así que $y^2 - (x + 42)^2 = 244,$ lo que se factoriza como $\begin{aligned} &(y - x - 42) \\ &\quad {}\cdot (y + x + 42) \\ &= 244 \\ &= 2^2 \cdot 61. \end{aligned}$ Los dos factores tienen la misma paridad, y su producto es par, así que ambos son pares: $y - x - 42 = 2$ y $y + x + 42 = 122.$

Sumando se obtiene $y = 62,$ y entonces $x = 18;$ en efecto $18^2 + 84 \cdot 18 + 2008$ $= 3844$ $= 62^2.$ Por lo tanto $x + y = 18 + 62 = 80.$

Completing the square, $x^2 + 84x + 2008$ $= (x + 42)^2 + 244,$ so $y^2 - (x + 42)^2 = 244,$ which factors as $\begin{aligned} &(y - x - 42) \\ &\quad {}\cdot (y + x + 42) \\ &= 244 \\ &= 2^2 \cdot 61. \end{aligned}$ The two factors have the same parity, and their product is even, so both are even: $y - x - 42 = 2$ and $y + x + 42 = 122.$

Adding gives $y = 62,$ and then $x = 18;$ indeed $18^2 + 84 \cdot 18 + 2008$ $= 3844$ $= 62^2.$ Therefore $x + y = 18 + 62 = 80.$

2008 AIME I Problema 4

Respuesta: 80

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años