Question

Un equipo de fútbol tiene $22$ jugadores disponibles. Un conjunto fijo de $11$ jugadores comienza el partido, mientras que los otros $11$ están disponibles como suplentes. Durante el partido, el entrenador puede hacer hasta $3$ sustituciones, en las que cualquiera de los $11$ jugadores en el campo es reemplazado por uno de los suplentes. Ningún jugador retirado del partido puede volver a entrar, aunque un suplente que entra al partido puede ser reemplazado más tarde. No pueden ocurrir dos sustituciones al mismo tiempo. Los jugadores involucrados y el orden de las sustituciones importan. Sea $n$ el número de maneras en que el entrenador puede hacer sustituciones durante el partido (incluyendo la posibilidad de no hacer ninguna). Halle el resto cuando $n$ se divide entre $1000.$

A soccer team has $22$ available players. A fixed set of $11$ players starts the game, while the other $11$ are available as substitutes. During the game, the coach may make as many as $3$ substitutions, where any one of the $11$ players in the game is replaced by one of the substitutes. No player removed from the game may reenter the game, although a substitute entering the game may be replaced later. No two substitutions can happen at the same time. The players involved and the order of the substitutions matter. Let $n$ be the number of ways the coach can make substitutions during the game (including the possibility of making no substitutions). Find the remainder when $n$ is divided by $1000.$

Respuesta

Solución:

En todo momento hay $11$ jugadores en el campo, cualquiera de los cuales puede ser retirado, mientras que el banco se reduce en uno con cada sustitución. Así, la primera sustitución puede hacerse de $11 \cdot 11$ maneras, la segunda de $11 \cdot 10$ maneras, y la tercera de $11 \cdot 9$ maneras.

Sumando sobre $0, 1, 2,$ o $3$ sustituciones, $\begin{aligned} n &= 1 + 11 \cdot 11 \\ &\quad {}+ 11^2 \cdot 11 \cdot 10 \\ &\quad {}+ 11^3 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \\ &= 1 + 121 + 13310 + 1317690 \\ &= 1331122. \end{aligned}$ El resto al dividir entre $1000$ es $122.$

At every moment there are $11$ players in the game, any of whom may be removed, while the bench shrinks by one with each substitution. So the first substitution can be made in $11 \cdot 11$ ways, the second in $11 \cdot 10$ ways, and the third in $11 \cdot 9$ ways.

Summing over $0, 1, 2,$ or $3$ substitutions, $\begin{aligned} n &= 1 + 11 \cdot 11 \\ &\quad {}+ 11^2 \cdot 11 \cdot 10 \\ &\quad {}+ 11^3 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \\ &= 1 + 121 + 13310 + 1317690 \\ &= 1331122. \end{aligned}$ The remainder upon division by $1000$ is $122.$

2019 AIME I Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años