Question

Los círculos de radios $5,$ $5,$ $8,$ y $\frac{m}{n}$ son mutuamente tangentes externamente, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Circles of radii $5,$ $5,$ $8,$ and $\frac{m}{n}$ are mutually externally tangent, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Los círculos de radio $5$ tienen centros $P_1$ y $P_2,$ de modo que $P_1P_2 = 5 + 5 = 10,$ y sea $M$ el punto medio. El círculo de radio $8$ tiene centro $Q$ que cumple $QP_1 = QP_2 = 13,$ así que $Q$ está sobre la mediatriz de $\overline{P_1P_2}$ a distancia $\sqrt{13^2 - 5^2} = 12$ de $M.$ Del mismo modo, el cuarto círculo, de radio $r,$ tiene su centro $R$ sobre la misma mediatriz con $RP_1 = 5 + r,$ así que $RM = \sqrt{(5+r)^2 - 25}$ $= \sqrt{r^2 + 10r}.$

El círculo pequeño se aloja en el espacio entre los otros tres, así que $R$ está entre $M$ y $Q,$ y la tangencia externa con el círculo de radio $8$ da $12 - \sqrt{r^2 + 10r} = 8 + r.$ Entonces $\sqrt{r^2 + 10r} = 4 - r,$ y al elevar al cuadrado se obtiene $r^2 + 10r = 16 - 8r + r^2,$ así que $18r = 16$ y $r = \frac{8}{9}.$

Por lo tanto $m + n = 8 + 9 = 17.$

Let the radius- $5$ circles have centers $P_1$ and $P_2,$ so $P_1P_2 = 5 + 5 = 10,$ and let $M$ be the midpoint. The radius- $8$ circle's center $Q$ satisfies $QP_1 = QP_2 = 13,$ so $Q$ lies on the perpendicular bisector of $\overline{P_1P_2}$ at distance $\sqrt{13^2 - 5^2} = 12$ from $M.$ Likewise the fourth circle, of radius $r,$ has its center $R$ on the same perpendicular bisector with $RP_1 = 5 + r,$ so $RM = \sqrt{(5+r)^2 - 25}$ $= \sqrt{r^2 + 10r}.$

The small circle nestles in the space between the other three, so $R$ is between $M$ and $Q,$ and external tangency to the radius- $8$ circle gives $12 - \sqrt{r^2 + 10r} = 8 + r.$ Then $\sqrt{r^2 + 10r} = 4 - r,$ and squaring yields $r^2 + 10r = 16 - 8r + r^2,$ so $18r = 16$ and $r = \frac{8}{9}.$

Thus $m + n = 8 + 9 = 17.$

1997 AIME Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años