Question

Los círculos de radios $5,$ $5,$ $8,$ y $\frac{m}{n}$ son mutuamente tangentes externamente, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Circles of radii $5,$ $5,$ $8,$ and $\frac{m}{n}$ are mutually externally tangent, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 17

Conceptos:circunferencias tangentes Teorema de Pitágoras mediatriz

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Los dos centros de radio $5$ están a distancia $10$ y los otros dos centros están ambos sobre la mediatriz de ese segmento

The two radius- $5$ centers are $10$ apart, and the other two centers both lie on the perpendicular bisector of that segment

Pista grande:

Los triángulos rectángulos dan distancias $12$ y $\sqrt{r^2 + 10r};$ descarta que los centros estén en lados opuestos antes de restarlas

Right triangles give midpoint distances $12$ and $\sqrt{r^2 + 10r};$ rule out opposite sides before subtracting them

Solución:

Los círculos de radio $5$ tienen centros $P_1$ y $P_2,$ de modo que $P_1P_2 = 5 + 5 = 10,$ y sea $M$ el punto medio. El círculo de radio $8$ tiene centro $Q$ que cumple $QP_1 = QP_2 = 13,$ así que $Q$ está sobre la mediatriz de $\overline{P_1P_2}$ a distancia $\sqrt{13^2 - 5^2} = 12$ de $M.$ Del mismo modo, el cuarto círculo, de radio $r,$ tiene su centro $R$ sobre la misma mediatriz con $RP_1 = 5 + r,$ así que $RM = \sqrt{(5+r)^2 - 25}$ $= \sqrt{r^2 + 10r}.$

Los centros $Q$ y $R$ no pueden estar en lados opuestos de $M:$ eso daría $12 + RM = 8 + r,$ y por tanto $RM = r - 4,$ pero al elevar al cuadrado se obtendría $18r = 16,$ en contradicción con $r \ge 4.$ Tampoco puede estar $R$ más allá de $Q,$ pues entonces $RM - 12 = 8 + r$ obligaría a $RM = r + 20,$ lo cual es incompatible con $RM^2 = r^2 + 10r.$ Por tanto, $R$ está entre $M$ y $Q,$ y la tangencia externa con el círculo de radio $8$ da $12 - \sqrt{r^2 + 10r} = 8 + r.$ Entonces $\sqrt{r^2 + 10r} = 4 - r,$ y al elevar al cuadrado se obtiene $r^2 + 10r = 16 - 8r + r^2,$ así que $18r = 16$ y $r = \frac{8}{9}.$

Por lo tanto $m + n = 8 + 9 = 17.$

Let the radius- $5$ circles have centers $P_1$ and $P_2,$ so $P_1P_2 = 5 + 5 = 10,$ and let $M$ be the midpoint. The radius- $8$ circle’s center $Q$ satisfies $QP_1 = QP_2 = 13,$ so $Q$ lies on the perpendicular bisector of $\overline{P_1P_2}$ at distance $\sqrt{13^2 - 5^2} = 12$ from $M.$ Likewise the fourth circle, of radius $r,$ has its center $R$ on the same perpendicular bisector with $RP_1 = 5 + r,$ so $RM = \sqrt{(5+r)^2 - 25}$ $= \sqrt{r^2 + 10r}.$

The centers $Q$ and $R$ cannot lie on opposite sides of $M:$ that would give $12 + RM = 8 + r,$ hence $RM = r - 4,$ but squaring would yield $18r = 16,$ contrary to $r \ge 4.$ Nor can $R$ lie beyond $Q,$ since then $RM - 12 = 8 + r$ would force $RM = r + 20,$ which is incompatible with $RM^2 = r^2 + 10r.$ Thus $R$ lies between $M$ and $Q,$ and external tangency to the radius- $8$ circle gives $12 - \sqrt{r^2 + 10r} = 8 + r.$ Then $\sqrt{r^2 + 10r} = 4 - r,$ and squaring yields $r^2 + 10r = 16 - 8r + r^2,$ so $18r = 16$ and $r = \frac{8}{9}.$

Thus $m + n = 8 + 9 = 17.$

1997 AIME Problema 4

Respuesta: 17

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años