Question

En el triángulo $ABC,$ $AB = 125,$ $AC = 117,$ y $BC = 120.$ La bisectriz del ángulo $A$ corta a $\overline{BC}$ en el punto $L,$ y la bisectriz del ángulo $B$ corta a $\overline{AC}$ en el punto $K.$ Sean $M$ y $N$ los pies de las perpendiculares desde $C$ a $\overline{BK}$ y $\overline{AL},$ respectivamente. Halla $MN.$

In triangle $ABC,$ $AB = 125,$ $AC = 117,$ and $BC = 120.$ The angle bisector of angle $A$ intersects $\overline{BC}$ at point $L,$ and the angle bisector of angle $B$ intersects $\overline{AC}$ at point $K.$ Let $M$ and $N$ be the feet of the perpendiculars from $C$ to $\overline{BK}$ and $\overline{AL},$ respectively. Find $MN.$

Respuesta

Solución:

Prolonga $\overline{CM}$ y $\overline{CN}$ hasta cortar a $\overline{AB}$ en $P$ y $Q,$ respectivamente. En el triángulo $BCP,$ el segmento $BM$ es a la vez bisectriz y altura, por lo que el triángulo es isósceles con $BP = BC = 120,$ y $M$ es el punto medio de $\overline{CP}.$ De manera similar, el triángulo $ACQ$ es isósceles con $AQ = AC = 117,$ y $N$ es el punto medio de $\overline{CQ}.$

Por lo tanto, $\overline{MN}$ es una paralela media del triángulo $CPQ,$ así que $MN = \frac{PQ}{2}.$ Como $\begin{aligned} PQ &= BP + AQ - AB \\ &= 120 + 117 - 125 \\ &= 112, \end{aligned}$ concluimos que $MN = 56.$

Extend $\overline{CM}$ and $\overline{CN}$ to meet $\overline{AB}$ at $P$ and $Q,$ respectively. In triangle $BCP,$ the segment $BM$ is both an angle bisector and an altitude, so the triangle is isosceles with $BP = BC = 120,$ and $M$ is the midpoint of $\overline{CP}.$ Similarly, triangle $ACQ$ is isosceles with $AQ = AC = 117,$ and $N$ is the midpoint of $\overline{CQ}.$

Hence $\overline{MN}$ is a midline of triangle $CPQ,$ so $MN = \frac{PQ}{2}.$ Since $\begin{aligned} PQ &= BP + AQ - AB \\ &= 120 + 117 - 125 \\ &= 112, \end{aligned}$ we conclude $MN = 56.$

2011 AIME I Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años