Question

Sea $S$ el conjunto de enteros positivos $N$ con la propiedad de que los últimos cuatro dígitos de $N$ son $2020,$ y cuando se eliminan los últimos cuatro dígitos, el resultado es un divisor de $N.$ Por ejemplo, $42{,}020$ está en $S$ porque $4$ es un divisor de $42{,}020.$ Halle la suma de todos los dígitos de todos los números en $S.$ Por ejemplo, el número $42{,}020$ aporta $4 + 2 + 0 + 2 + 0 = 8$ a este total.

Let $S$ be the set of positive integers $N$ with the property that the last four digits of $N$ are $2020,$ and when the last four digits are removed, the result is a divisor of $N.$ For example, $42{,}020$ is in $S$ because $4$ is a divisor of $42{,}020.$ Find the sum of all the digits of all the numbers in $S.$ For example, the number $42{,}020$ contributes $4 + 2 + 0 + 2 + 0 = 8$ to this total.

Respuesta

Respuesta: 93

Conceptos:divisibilidad factor dígitos

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Escriba $N = 10000k + 2020;$ entonces $k$ divide a $N$ exactamente cuando $k$ divide a $2020.$

Write $N = 10000k + 2020;$ then $k$ divides $N$ exactly when $k$ divides $2020.$

Pista grande:

Cada uno de los $12$ divisores $k$ de $2020 = 2^2 \cdot 5 \cdot 101$ aporta la suma de dígitos de $k$ más $2 + 0 + 2 + 0.$

Each of the $12$ divisors $k$ of $2020 = 2^2 \cdot 5 \cdot 101$ contributes the digit sum of $k$ plus $2 + 0 + 2 + 0.$

Solución:

Si eliminar los últimos cuatro dígitos deja $k \ge 1,$ entonces $N = 10000k + 2020,$ y la condición de que $k$ divida a $N$ es equivalente a que $k$ divida a $2020.$ Como $2020 = 2^2 \cdot 5 \cdot 101,$ hay $12$ opciones de $k:$ $1,$ $2,$ $4,$ $5,$ $10,$ $20,$ $101,$ $202,$ $404,$ $505,$ $1010,$ $2020.$

Cada miembro de $S$ tiene una suma de dígitos igual a la suma de dígitos de $k$ más $2 + 0 + 2 + 0 = 4.$ Las sumas de dígitos de los doce divisores son $1, 2, 4, 5, 1, 2, 2, 4, 8, 10, 2, 4,$ que totalizan $45.$

La respuesta es $45 + 12 \cdot 4 = 93.$

If removing the last four digits leaves $k \ge 1,$ then $N = 10000k + 2020,$ and the condition that $k$ divides $N$ is equivalent to $k$ dividing $2020.$ Since $2020 = 2^2 \cdot 5 \cdot 101,$ there are $12$ choices of $k:$ $1,$ $2,$ $4,$ $5,$ $10,$ $20,$ $101,$ $202,$ $404,$ $505,$ $1010,$ $2020.$

Each member of $S$ has digit sum equal to the digit sum of $k$ plus $2 + 0 + 2 + 0 = 4.$ The digit sums of the twelve divisors are $1, 2, 4, 5, 1, 2, 2, 4, 8, 10, 2, 4,$ totaling $45.$

The answer is $45 + 12 \cdot 4 = 93.$

2020 AIME I Problema 4

Respuesta: 93

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años