Question

Sean

w = \frac{\sqrt{3} + \mathrm{i}}{2}

y

z = \frac{-1 + \mathrm{i}\sqrt{3}}{2},

donde

\mathrm{i} = \sqrt{-1}.

Halla la cantidad de pares ordenados

(r, s)

de enteros positivos que no superan

100

y satisfacen la ecuación

\mathrm{i} \cdot w^r = z^s.

Let

w = \frac{\sqrt{3} + \mathrm{i}}{2}

and

z = \frac{-1 + \mathrm{i}\sqrt{3}}{2},

where

\mathrm{i} = \sqrt{-1}.

Find the number of ordered pairs

(r, s)

of positive integers not exceeding

100

that satisfy the equation

\mathrm{i} \cdot w^r = z^s.

Respuesta

Respuesta: 834

Conceptos:número complejo Teorema de De Moivre aritmética modular

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Ambos números están en la circunferencia unitaria:

w

tiene argumento

30^\circ

y

z

tiene argumento

120^\circ,

mientras que

\mathrm{i}

tiene argumento

90^\circ

Both numbers lie on the unit circle:

w

has argument

30^\circ

and

z

has argument

120^\circ,

while

\mathrm{i}

has argument

90^\circ

Pista grande:

Igualar los argumentos da

90 + 30r \equiv 120s \pmod{360},

es decir

r + 3 \equiv 4s \pmod{12};

cuenta cuántos

r \in [1, 100]

caen en cada residuo

Matching arguments gives

90 + 30r \equiv 120s \pmod{360},

i.e.

r + 3 \equiv 4s \pmod{12};

count how many

r \in [1, 100]

hit each residue

Solución:

Tanto

w

como

z

tienen módulo

1:

en forma polar

w = \operatorname{cis} 30^\circ

y

z = \operatorname{cis} 120^\circ,

mientras que

\mathrm{i} = \operatorname{cis} 90^\circ.

Por lo tanto, la ecuación

\mathrm{i} \cdot w^r = z^s

equivale a la condición de argumentos

90 + 30r \equiv 120s \pmod{360},

es decir,

r + 3 \equiv 4s \pmod{12}.

Para cada

s,

esto determina

r \pmod{12}:

el residuo

4s - 3

es

1,

5,

o

9

módulo

12

según

s \equiv 1,

2,

o

0 \pmod 3.

Entre

1 \le r \le 100

hay

9

valores con

r \equiv 1 \pmod{12}

y

8

valores en cada caso con

r \equiv 5

o

r \equiv 9 \pmod{12}.

Entre

1 \le s \le 100

hay

34

valores con

s \equiv 1 \pmod 3

y

33

valores en cada una de las otras dos clases.

El total es

34 \cdot 9

+ 33 \cdot 8

+ 33 \cdot 8

= 306 + 264 + 264 = 834.

Both

w

and

z

have modulus

1:

in polar form

w = \operatorname{cis} 30^\circ

and

z = \operatorname{cis} 120^\circ,

while

\mathrm{i} = \operatorname{cis} 90^\circ.

The equation

\mathrm{i} \cdot w^r = z^s

is therefore a statement about arguments:

90 + 30r \equiv 120s \pmod{360},

i.e.

r + 3 \equiv 4s \pmod{12}.

For each

s,

this determines

r \pmod{12}:

the residue

4s - 3

is

1,

5,

or

9

modulo

12

according as

s \equiv 1,

2,

or

0 \pmod 3.

Among

1 \le r \le 100

there are

9

values with

r \equiv 1 \pmod{12}

and

8

values each with

r \equiv 5

or

r \equiv 9 \pmod{12}.

Among

1 \le s \le 100

there are

34

values with

s \equiv 1 \pmod 3

and

33

values in each of the other two classes.

The count is

34 \cdot 9

+ 33 \cdot 8

+ 33 \cdot 8

= 306 + 264 + 264 = 834.

2022 AIME I Problema 4

Respuesta: 834

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años