Question

Sean $w = \frac{\sqrt{3} + i}{2}$ y $z = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2},$ donde $i = \sqrt{-1}.$ Halla la cantidad de pares ordenados $(r, s)$ de enteros positivos que no superan $100$ y satisfacen la ecuación $i \cdot w^r = z^s.$

Let $w = \frac{\sqrt{3} + i}{2}$ and $z = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2},$ where $i = \sqrt{-1}.$ Find the number of ordered pairs $(r, s)$ of positive integers not exceeding $100$ that satisfy the equation $i \cdot w^r = z^s.$

Respuesta

Solución:

Tanto $w$ como $z$ tienen módulo $1:$ en forma polar $w = \operatorname{cis} 30^\circ$ y $z = \operatorname{cis} 120^\circ,$ mientras que $i = \operatorname{cis} 90^\circ.$ Por lo tanto, la ecuación $i \cdot w^r = z^s$ es una afirmación sobre argumentos: $90 + 30r \equiv 120s \pmod{360},$ es decir $r + 3 \equiv 4s \pmod{12}.$

Para cada $s,$ esto determina $r \pmod{12}:$ el residuo $4s - 3$ es $1,$ $5,$ o $9$ módulo $12$ según $s \equiv 1,$ $2,$ o $0 \pmod 3.$ Entre $1 \le r \le 100$ hay $9$ valores con $r \equiv 1 \pmod{12}$ y $8$ valores en cada caso con $r \equiv 5$ o $r \equiv 9 \pmod{12}.$ Entre $1 \le s \le 100$ hay $34$ valores con $s \equiv 1 \pmod 3$ y $33$ valores en cada una de las otras dos clases.

El total es $34 \cdot 9$ $+ 33 \cdot 8$ $+ 33 \cdot 8$ $= 306 + 264 + 264 = 834.$

Both $w$ and $z$ have modulus $1:$ in polar form $w = \operatorname{cis} 30^\circ$ and $z = \operatorname{cis} 120^\circ,$ while $i = \operatorname{cis} 90^\circ.$ The equation $i \cdot w^r = z^s$ is therefore a statement about arguments: $90 + 30r \equiv 120s \pmod{360},$ i.e. $r + 3 \equiv 4s \pmod{12}.$

For each $s,$ this determines $r \pmod{12}:$ the residue $4s - 3$ is $1,$ $5,$ or $9$ modulo $12$ according as $s \equiv 1,$ $2,$ or $0 \pmod 3.$ Among $1 \le r \le 100$ there are $9$ values with $r \equiv 1 \pmod{12}$ and $8$ values each with $r \equiv 5$ or $r \equiv 9 \pmod{12}.$ Among $1 \le s \le 100$ there are $34$ values with $s \equiv 1 \pmod 3$ and $33$ values in each of the other two classes.

The count is $34 \cdot 9$ $+ 33 \cdot 8$ $+ 33 \cdot 8$ $= 306 + 264 + 264 = 834.$

2022 AIME I Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años