Question

En el triángulo $ABC,$ $AB = \frac{20}{11} AC.$ La bisectriz del ángulo $A$ corta a $\overline{BC}$ en el punto $D,$ y el punto $M$ es el punto medio de $\overline{AD}.$ Sea $P$ el punto de intersección de $\overline{AC}$ con la recta $BM.$ La razón de $CP$ a $PA$ puede expresarse en la forma $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos coprimos. Halla $m + n.$

In triangle $ABC,$ $AB = \frac{20}{11} AC.$ The angle bisector of angle $A$ intersects $\overline{BC}$ at point $D,$ and point $M$ is the midpoint of $\overline{AD}.$ Let $P$ be the point of the intersection of $\overline{AC}$ and line $BM.$ The ratio of $CP$ to $PA$ can be expressed in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Por el teorema de la bisectriz, $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{20}{11}.$ Usa puntos de masa: coloca masa $11$ en $B$ y masa $20$ en $C,$ de modo que $D,$ que divide a $\overline{BC}$ con $BD : DC = 20 : 11,$ es su punto de equilibrio y lleva masa $31.$ Colocar masa $31$ en $A$ hace que el punto de equilibrio de $A$ y $D$ sea exactamente el punto medio $M$ de $\overline{AD}.$

El centro de masa de todo el sistema, por lo tanto, está sobre la recta $BM,$ y también está sobre el segmento de $B$ al punto de equilibrio de $A$ y $C.$ Ese punto de equilibrio es precisamente donde la recta $BM$ cruza $\overline{AC},$ a saber $P,$ y satisface $31 \cdot PA = 20 \cdot CP.$

Por lo tanto $\frac{CP}{PA} = \frac{31}{20},$ que está en términos mínimos, y $m + n = 31 + 20 = 51.$

By the angle bisector theorem, $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{20}{11}.$ Use mass points: place mass $11$ at $B$ and mass $20$ at $C,$ so that $D,$ which divides $\overline{BC}$ with $BD : DC = 20 : 11,$ is their balance point and carries mass $31.$ Placing mass $31$ at $A$ makes the balance point of $A$ and $D$ exactly the midpoint $M$ of $\overline{AD}.$

The center of mass of the whole system therefore lies on line $BM,$ and it also lies on the segment from $B$ to the balance point of $A$ and $C.$ That balance point is precisely where line $BM$ crosses $\overline{AC},$ namely $P,$ and it satisfies $31 \cdot PA = 20 \cdot CP.$

Hence $\frac{CP}{PA} = \frac{31}{20},$ which is in lowest terms, and $m + n = 31 + 20 = 51.$

2011 AIME II Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años