Question

Un cuadrado tiene lados de longitud $2.$ El conjunto $\mathcal{S}$ es el conjunto de todos los segmentos de longitud $2$ cuyos extremos están en lados adyacentes del cuadrado. Los puntos medios de los segmentos del conjunto $\mathcal{S}$ encierran una región cuya área, redondeada a la centésima, es $k.$ Halla $100k.$

A square has sides of length $2.$ Set $\mathcal{S}$ is the set of all line segments that have length $2$ and whose endpoints are on adjacent sides of the square. The midpoints of the line segments in set $\mathcal{S}$ enclose a region whose area to the nearest hundredth is $k.$ Find $100k.$

Respuesta

Solución:

Sea un segmento $\overline{PQ}$ de $\mathcal{S}$ con extremos en dos lados que se encuentran en el vértice $A,$ y sea $M$ su punto medio. El triángulo $PAQ$ es rectángulo en $A$ con hipotenusa $PQ = 2,$ y la mediana a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es la mitad de la hipotenusa, así que $AM = 1.$ Recíprocamente, todo punto a distancia $1$ de un vértice (entre los dos lados adyacentes) es uno de esos puntos medios, así que los puntos medios forman cuatro arcos de un cuarto de circunferencia de radio $1$ centrados en los vértices del cuadrado.

La región que encierran estos arcos es el cuadrado menos los cuatro cuartos de disco, de área $4 - 4 \cdot \frac{\pi}{4} = 4 - \pi \approx 0.86.$ Por lo tanto $100k = 86.$

Let a segment $\overline{PQ}$ in $\mathcal{S}$ have endpoints on two sides meeting at corner $A,$ and let $M$ be its midpoint. Triangle $PAQ$ is right-angled at $A$ with hypotenuse $PQ = 2,$ and the median to the hypotenuse of a right triangle is half the hypotenuse, so $AM = 1.$ Conversely every point at distance $1$ from a corner (between the two adjacent sides) is such a midpoint, so the midpoints form four quarter-circle arcs of radius $1$ centered at the corners of the square.

The region these arcs enclose is the square with the four quarter-disks removed, of area $4 - 4 \cdot \frac{\pi}{4} = 4 - \pi \approx 0.86.$ Therefore $100k = 86.$

2004 AIME I Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años