Question

El punto $B$ está sobre el segmento $\overline{AC}$ con $AB = 16$ y $BC = 4.$ Los puntos $D$ y $E$ están del mismo lado de la recta $AC$ formando triángulos equiláteros $\triangle ABD$ y $\triangle BCE.$ Sea $M$ el punto medio de $\overline{AE},$ y sea $N$ el punto medio de $\overline{CD}.$ El área de $\triangle BMN$ es $x.$ Halla $x^2.$

Point $B$ lies on line segment $\overline{AC}$ with $AB = 16$ and $BC = 4.$ Points $D$ and $E$ lie on the same side of line $AC$ forming equilateral triangles $\triangle ABD$ and $\triangle BCE.$ Let $M$ be the midpoint of $\overline{AE},$ and $N$ be the midpoint of $\overline{CD}.$ The area of $\triangle BMN$ is $x.$ Find $x^2.$

Respuesta

Solución:

Coloca $B = (0, 0),$ $A = (-16, 0),$ y $C = (4, 0).$ Cada triángulo equilátero tiene su vértice superior encima del punto medio de su base a una altura de $\frac{\sqrt{3}}{2}$ veces el lado, así que $D = (-8, 8\sqrt{3})$ y $E = (2, 2\sqrt{3}).$ Los puntos medios son $M = (-7, \sqrt{3})$ y $N = (-2, 4\sqrt{3}).$

Ahora $BM^2 = 49 + 3 = 52,$ $BN^2 = 4 + 48 = 52,$ y $MN^2 = 25 + 27 = 52,$ así que $\triangle BMN$ es equilátero con lado $\sqrt{52}.$ Su área es $x = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 52 = 13\sqrt{3},$ de modo que $x^2 = 169 \cdot 3 = 507.$

Place $B = (0, 0),$ $A = (-16, 0),$ and $C = (4, 0).$ Each equilateral triangle has its apex above the midpoint of its base at height $\frac{\sqrt{3}}{2}$ times the side, so $D = (-8, 8\sqrt{3})$ and $E = (2, 2\sqrt{3}).$ The midpoints are $M = (-7, \sqrt{3})$ and $N = (-2, 4\sqrt{3}).$

Now $BM^2 = 49 + 3 = 52,$ $BN^2 = 4 + 48 = 52,$ and $MN^2 = 25 + 27 = 52,$ so $\triangle BMN$ is equilateral with side $\sqrt{52}.$ Its area is $x = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 52 = 13\sqrt{3},$ so $x^2 = 169 \cdot 3 = 507.$

2015 AIME I Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años