Question

Una transformación del primer cuadrante del plano coordenado lleva cada punto $(x, y)$ al punto $(\sqrt{x}, \sqrt{y}).$ Los vértices del cuadrilátero $ABCD$ son $A = (900, 300),$ $B = (1800, 600),$ $C = (600, 1800),$ y $D = (300, 900).$ Sea $k$ el área de la región encerrada por la imagen del cuadrilátero $ABCD.$ Halla el mayor entero que no excede $k.$

A transformation of the first quadrant of the coordinate plane maps each point $(x, y)$ to the point $(\sqrt{x}, \sqrt{y}).$ The vertices of quadrilateral $ABCD$ are $A = (900, 300),$ $B = (1800, 600),$ $C = (600, 1800),$ and $D = (300, 900).$ Let $k$ be the area of the region enclosed by the image of quadrilateral $ABCD.$ Find the greatest integer that does not exceed $k.$

Respuesta

Respuesta: 314

Conceptos:transformación geometría analítica sector circular corona circular

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

En lugar de seguir los vértices, averigua qué le hace la aplicación a cada una de las cuatro rectas del contorno

Instead of tracking the vertices, find what the map does to each of the four boundary lines

Pista grande:

$y = 3x$ y $y = \frac{x}{3}$ se transforman en rectas que pasan por el origen, mientras que $x + y = c$ se transforma en un arco de $u^2 + v^2 = c$

$y = 3x$ and $y = \frac{x}{3}$ map to lines through the origin, while $x + y = c$ maps to an arc of $u^2 + v^2 = c$

Solución:

Sigue las cuatro aristas. Los lados $AB$ y $DC$ están sobre las rectas $y = \frac{x}{3}$ y $y = 3x,$ que se transforman en las rectas $v = \frac{u}{\sqrt{3}}$ y $v = \sqrt{3}\,u$ , rayos desde el origen con ángulos $30^\circ$ y $60^\circ.$ Los lados $AD$ y $BC$ están sobre $x + y = 1200$ y $x + y = 2400,$ que se transforman en arcos de las circunferencias $u^2 + v^2 = 1200$ y $u^2 + v^2 = 2400.$

Así que la imagen es la parte del anillo entre los radios $\sqrt{1200}$ y $\sqrt{2400}$ situada entre los rayos de $30^\circ$ y $60^\circ$ , una doceava parte del anillo completo: $\begin{aligned} k &= \frac{30}{360}\,\pi\,(2400 - 1200) \\ &= 100\pi. \end{aligned}$

Como $3.14 < \pi < 3.15,$ tenemos $314 < k < 315,$ así que el mayor entero que no excede $k$ es $314.$

Follow the four edges. Sides $AB$ and $DC$ lie on the lines $y = \frac{x}{3}$ and $y = 3x,$ which map to the lines $v = \frac{u}{\sqrt{3}}$ and $v = \sqrt{3}\,u$ — rays from the origin at angles $30^\circ$ and $60^\circ.$ Sides $AD$ and $BC$ lie on $x + y = 1200$ and $x + y = 2400,$ which map to arcs of the circles $u^2 + v^2 = 1200$ and $u^2 + v^2 = 2400.$

So the image is the part of the annulus between radii $\sqrt{1200}$ and $\sqrt{2400}$ lying between the $30^\circ$ and $60^\circ$ rays, one twelfth of the full annulus: $\begin{aligned} k &= \frac{30}{360}\,\pi\,(2400 - 1200) \\ &= 100\pi. \end{aligned}$

Since $3.14 < \pi < 3.15,$ we have $314 < k < 315,$ so the greatest integer not exceeding $k$ is $314.$

1999 AIME Problema 6

Respuesta: 314

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años