Solución:

Si el último dígito de $x$ es a lo sumo $7,$ sumar $2$ no cambia ningún otro dígito, así que $T(x) = 2.$ En caso contrario hay acarreo. Si $x$ termina en el dígito $8$ precedido por exactamente $m \ge 0$ nueves, entonces $x + 2$ reemplaza $\ldots a\underbrace{9 \cdots 9}_{m}8$ por $\ldots (a{+}1)\underbrace{0 \cdots 0}_{m}0,$ así que $S(x + 2) - S(x) = 1 - 9m - 8$ y $T(x) = 9m + 7.$ Si $x$ termina en exactamente $m \ge 1$ nueves, entonces $x + 2$ reemplaza $\ldots a\underbrace{9 \cdots 9}_{m}$ por $\ldots (a{+}1)\underbrace{0 \cdots 0}_{m - 1}1,$ así que $S(x + 2) - S(x) = 2 - 9m$ y $T(x) = 9m - 2.$

Ambas familias con acarreo dan exactamente los valores $7, 16, 25, \ldots,$ es decir, $9j + 7$ para $j \ge 0,$ y cada uno de esos valores se alcanza. Así que los valores posibles de $T$ son $2$ junto con todos los $9j + 7.$ Exigir $9j + 7 \le 1999$ da $j \le 221,$ lo que son $222$ valores, y $T = 2$ añade uno más, para un total de $223.$