Question

Un plano contiene los puntos $A$ y $B$ con $AB = 1.$ El punto $A$ se rota en el plano en sentido antihorario un ángulo agudo $\theta$ alrededor del punto $B$ hasta el punto $A'.$ Luego $B$ se rota en el plano en sentido horario un ángulo $\theta$ alrededor del punto $A'$ hasta el punto $B'.$ Suponga que $AB' = \frac{4}{3}.$ El valor de $\cos\theta$ puede escribirse como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

A plane contains points $A$ and $B$ with $AB = 1.$ Point $A$ is rotated in the plane counterclockwise through an acute angle $\theta$ around point $B$ to point $A'.$ Then $B$ is rotated in the plane clockwise through angle $\theta$ around point $A'$ to point $B'.$ Suppose $AB' = \frac{4}{3}.$ The value of $\cos\theta$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Trabaje en el plano complejo con $B = 0$ y $A = 1.$ Rotar $z$ alrededor de $P$ un ángulo $\varphi$ en sentido antihorario da $P + e^{i\varphi}(z - P).$ Así $A' = e^{i\theta},$ y rotar $B$ en sentido horario un ángulo $\theta$ alrededor de $A'$ da $\begin{aligned} &B' = A' + e^{-i\theta}(0 - A') \\ &= e^{i\theta} - e^{-i\theta}e^{i\theta} \\ &= e^{i\theta} - 1. \end{aligned}$

Entonces $\begin{aligned} &AB'^2 = \left|e^{i\theta} - 2\right|^2 \\ &= (\cos\theta - 2)^2 + \sin^2\theta \\ &= 5 - 4\cos\theta. \end{aligned}$ Al igualar esto a $\left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$ se obtiene $4\cos\theta = 5 - \frac{16}{9} = \frac{29}{9},$ así que $\cos\theta = \frac{29}{36}$ (efectivamente positivo, consistente con $\theta$ agudo). Así $m + n = 29 + 36 = 65.$

Work in the complex plane with $B = 0$ and $A = 1.$ Rotating $z$ about $P$ through angle $\varphi$ counterclockwise gives $P + e^{i\varphi}(z - P).$ So $A' = e^{i\theta},$ and rotating $B$ clockwise through $\theta$ about $A'$ gives $\begin{aligned} &B' = A' + e^{-i\theta}(0 - A') \\ &= e^{i\theta} - e^{-i\theta}e^{i\theta} \\ &= e^{i\theta} - 1. \end{aligned}$

Then $\begin{aligned} &AB'^2 = \left|e^{i\theta} - 2\right|^2 \\ &= (\cos\theta - 2)^2 + \sin^2\theta \\ &= 5 - 4\cos\theta. \end{aligned}$ Setting this equal to $\left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$ gives $4\cos\theta = 5 - \frac{16}{9} = \frac{29}{9},$ so $\cos\theta = \frac{29}{36}$ (indeed positive, consistent with $\theta$ acute). Thus $m + n = 29 + 36 = 65.$

2026 AIME I Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años