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2026 AIME I Problema 5

Intenta el Problema 5 del 2026 AIME I a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2026 AIME I, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

5.

Un plano contiene los puntos AA y BB con AB=1.AB = 1. El punto AA se rota en el plano en sentido antihorario un ángulo agudo θ\theta alrededor del punto BB hasta el punto A′.A'. Luego BB se rota en el plano en sentido horario un ángulo θ\theta alrededor del punto A′A' hasta el punto B′.B'. Suponga que AB′=43.AB' = \frac{4}{3}. El valor de cos⁡θ\cos\theta puede escribirse como mn,\frac{m}{n}, donde mm y nn son enteros positivos primos entre sí. Halle m+n.m + n.
A plane contains points AA and BB with AB=1.AB = 1. Point AA is rotated in the plane counterclockwise through an acute angle θ\theta around point BB to point A′.A'. Then BB is rotated in the plane clockwise through angle θ\theta around point A′A' to point B′.B'. Suppose AB′=43.AB' = \frac{4}{3}. The value of cos⁡θ\cos\theta can be written as mn,\frac{m}{n}, where mm and nn are relatively prime positive integers. Find m+n.m + n.
Respuesta: 65
Conceptos:número complejotransformacióntrigonometría
Nivel de dificultad: 2400
Pista pequeña:
Ponga B=0B = 0 y A=1A = 1 en el plano complejo; rotar zz alrededor de PP un ángulo φ\varphi en sentido antihorario da P+eiφ(z−P)P + e^{i\varphi}(z - P)
Put B=0B = 0 and A=1A = 1 in the complex plane; rotating zz about PP through φ\varphi counterclockwise gives P+eiφ(z−P)P + e^{i\varphi}(z - P)
Pista grande:
Calcule B′=eiθ−1,B' = e^{i\theta} - 1, así que AB′2=∣eiθ−2∣2=5−4cos⁡θAB'^2 = \left|e^{i\theta} - 2\right|^2 = 5 - 4\cos\theta
Compute B′=eiθ−1,B' = e^{i\theta} - 1, so AB′2=∣eiθ−2∣2=5−4cos⁡θAB'^2 = \left|e^{i\theta} - 2\right|^2 = 5 - 4\cos\theta
Solución:
Trabaje en el plano complejo con B=0B = 0 y A=1.A = 1. Rotar zz alrededor de PP un ángulo φ\varphi en sentido antihorario da P+eiφ(z−P).P + e^{i\varphi}(z - P). Así A′=eiθ,A' = e^{i\theta}, y rotar BB en sentido horario un ángulo θ\theta alrededor de A′A' da B′=A′+e−iθ(0−A′)=eiθ−e−iθeiθ=eiθ−1. \begin{aligned} &B' = A' + e^{-i\theta}(0 - A') \\ &= e^{i\theta} - e^{-i\theta}e^{i\theta} \\ &= e^{i\theta} - 1. \end{aligned}
Entonces AB′2=∣eiθ−2∣2=(cos⁡θ−2)2+sin⁡2θ=5−4cos⁡θ. \begin{aligned} &AB'^2 = \left|e^{i\theta} - 2\right|^2 \\ &= (\cos\theta - 2)^2 + \sin^2\theta \\ &= 5 - 4\cos\theta. \end{aligned} Al igualar esto a (43)2=169\left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9} se obtiene 4cos⁡θ=5−169=299,4\cos\theta = 5 - \frac{16}{9} = \frac{29}{9}, así que cos⁡θ=2936\cos\theta = \frac{29}{36} (efectivamente positivo, consistente con que θ\theta sea agudo). Así, m+n=29+36=65.m + n = 29 + 36 = 65.
Work in the complex plane with B=0B = 0 and A=1.A = 1. Rotating zz about PP through angle φ\varphi counterclockwise gives P+eiφ(z−P).P + e^{i\varphi}(z - P). So A′=eiθ,A' = e^{i\theta}, and rotating BB clockwise through θ\theta about A′A' gives B′=A′+e−iθ(0−A′)=eiθ−e−iθeiθ=eiθ−1. \begin{aligned} &B' = A' + e^{-i\theta}(0 - A') \\ &= e^{i\theta} - e^{-i\theta}e^{i\theta} \\ &= e^{i\theta} - 1. \end{aligned}
Then AB′2=∣eiθ−2∣2=(cos⁡θ−2)2+sin⁡2θ=5−4cos⁡θ. \begin{aligned} &AB'^2 = \left|e^{i\theta} - 2\right|^2 \\ &= (\cos\theta - 2)^2 + \sin^2\theta \\ &= 5 - 4\cos\theta. \end{aligned} Setting this equal to (43)2=169\left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9} gives 4cos⁡θ=5−169=299,4\cos\theta = 5 - \frac{16}{9} = \frac{29}{9}, so cos⁡θ=2936\cos\theta = \frac{29}{36} (indeed positive, consistent with θ\theta acute). Thus m+n=29+36=65.m + n = 29 + 36 = 65.
Problema 4#4
Examen completo
Problema 6#6

El Problema 5 en otros años

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