Question

Llame especial a una sucesión aritmética estrictamente creciente de tres términos enteros si la suma de los cuadrados de los tres términos es igual al producto del término central y el cuadrado de la diferencia común. Halle la suma de los terceros términos de todas las sucesiones especiales.

Call a three-term strictly increasing arithmetic sequence of integers special if the sum of the squares of the three terms equals the product of the middle term and the square of the common difference. Find the sum of the third terms of all special sequences.

Respuesta

Solución:

Escriba los términos como $a - d,$ $a,$ $a + d$ con $d \ge 1$ entero. La condición es $\begin{aligned} &(a-d)^2 + a^2 \\ &\quad {}+ (a+d)^2 = ad^2 \\ &\quad\Longleftrightarrow\quad 3a^2 + 2d^2 = ad^2, \end{aligned}$ así que $d^2(a - 2) = 3a^2$ y $d^2 = \frac{3a^2}{a - 2}.$ Para que $d^2$ sea positivo necesitamos $a \gt 2$ (si $a = 0$ entonces $d = 0,$ no es estrictamente creciente, y $0 \lt a \lt 2$ o $a \lt 0$ hace que el lado derecho sea negativo o no entero en los casos verificables).

Sustituyendo $t = a - 2 \ge 1$ se obtiene $d^2 = \frac{3(t+2)^2}{t} = 3t + 12 + \frac{12}{t},$ así que $t \mid 12.$ Probando $t = 1, 2, 3, 4, 6, 12$ se obtiene $d^2 = 27, 24, 25, 27, 32, 49:$ solo $t = 3$ y $t = 12$ dan cuadrados perfectos.

Estas dan $(a, d) = (5, 5)$ con sucesión $0, 5, 10,$ y $(a, d) = (14, 7)$ con sucesión $7, 14, 21.$ La suma de los terceros términos es $10 + 21 = 31.$

Write the terms as $a - d,$ $a,$ $a + d$ with integer $d \ge 1.$ The condition is $\begin{aligned} &(a-d)^2 + a^2 \\ &\quad {}+ (a+d)^2 = ad^2 \\ &\quad\Longleftrightarrow\quad 3a^2 + 2d^2 = ad^2, \end{aligned}$ so $d^2(a - 2) = 3a^2$ and $d^2 = \frac{3a^2}{a - 2}.$ For $d^2$ to be positive we need $a \gt 2$ (if $a = 0$ then $d = 0,$ not strictly increasing, and $0 \lt a \lt 2$ or $a \lt 0$ makes the right side negative or non-integral in the checkable cases).

Substituting $t = a - 2 \ge 1$ gives $d^2 = \frac{3(t+2)^2}{t} = 3t + 12 + \frac{12}{t},$ so $t \mid 12.$ Testing $t = 1, 2, 3, 4, 6, 12$ gives $d^2 = 27, 24, 25, 27, 32, 49:$ only $t = 3$ and $t = 12$ yield perfect squares.

These give $(a, d) = (5, 5)$ with sequence $0, 5, 10,$ and $(a, d) = (14, 7)$ with sequence $7, 14, 21.$ The sum of the third terms is $10 + 21 = 31.$

2021 AIME I Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años