Question

Llame especial a una sucesión aritmética estrictamente creciente de tres términos enteros si la suma de los cuadrados de los tres términos es igual al producto del término central y el cuadrado de la diferencia común. Halle la suma de los terceros términos de todas las sucesiones especiales.

Call a three-term strictly increasing arithmetic sequence of integers special if the sum of the squares of the three terms equals the product of the middle term and the square of the common difference. Find the sum of the third terms of all special sequences.

Respuesta

Respuesta: 31

Conceptos:sucesión aritmética Ecuación diofántica divisibilidad

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Escriba los términos como $a - d,$ $a,$ $a + d;$ la condición se convierte en $3a^2 + 2d^2 = ad^2$

Write the terms as $a - d,$ $a,$ $a + d;$ the condition becomes $3a^2 + 2d^2 = ad^2$

Pista grande:

Entonces $d^2 = \frac{3a^2}{a - 2}.$ Sustituya $t = a - 2$ para ver que $t$ debe dividir a $12,$ y pruebe los seis valores.

So $d^2 = \frac{3a^2}{a - 2}.$ Substitute $t = a - 2$ to see that $t$ must divide $12,$ and test the six values.

Solución:

Escriba los términos como $a - d,$ $a,$ $a + d$ con $d \ge 1$ entero. La condición es $\begin{aligned} &(a-d)^2 + a^2 \\ &\quad {}+ (a+d)^2 = ad^2 \\ &\quad\Longleftrightarrow\quad 3a^2 + 2d^2 = ad^2, \end{aligned}$ así que $d^2(a - 2) = 3a^2$ y $d^2 = \frac{3a^2}{a - 2}.$ Para que $d^2$ sea positivo necesitamos $a \gt 2.$ En efecto, $a = 0$ obliga a $d = 0,$ mientras que para todo entero no nulo $a \lt 2$ el lado derecho es negativo; $a = 2$ hace imposible la ecuación original.

Sustituyendo $t = a - 2 \ge 1$ se obtiene $d^2 = \frac{3(t+2)^2}{t} = 3t + 12 + \frac{12}{t},$ así que $t$ divide a $12.$ Probando $t = 1, 2, 3, 4, 6, 12$ se obtiene $d^2 = 27, 24, 25, 27, 32, 49:$ solo $t = 3$ y $t = 12$ dan cuadrados perfectos.

Estas dan $(a, d) = (5, 5)$ con sucesión $0, 5, 10,$ y $(a, d) = (14, 7)$ con sucesión $7, 14, 21.$ La suma de los terceros términos es $10 + 21 = 31.$

Write the terms as $a - d,$ $a,$ $a + d$ with integer $d \ge 1.$ The condition is $\begin{aligned} &(a-d)^2 + a^2 \\ &\quad {}+ (a+d)^2 = ad^2 \\ &\quad\Longleftrightarrow\quad 3a^2 + 2d^2 = ad^2, \end{aligned}$ so $d^2(a - 2) = 3a^2$ and $d^2 = \frac{3a^2}{a - 2}.$ For $d^2$ to be positive we need $a \gt 2.$ Indeed, $a = 0$ forces $d = 0,$ while for any nonzero integer $a \lt 2$ the right side is negative; $a = 2$ makes the original equation impossible.

Substituting $t = a - 2 \ge 1$ gives $d^2 = \frac{3(t+2)^2}{t} = 3t + 12 + \frac{12}{t},$ so $t$ divides $12.$ Testing $t = 1, 2, 3, 4, 6, 12$ gives $d^2 = 27, 24, 25, 27, 32, 49:$ only $t = 3$ and $t = 12$ yield perfect squares.

These give $(a, d) = (5, 5)$ with sequence $0, 5, 10,$ and $(a, d) = (14, 7)$ with sequence $7, 14, 21.$ The sum of the third terms is $10 + 21 = 31.$

2021 AIME I Problema 5

Respuesta: 31

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 5 en otros años