Question

El triángulo $ABC$ tiene $AC = 450$ y $BC = 300.$ Los puntos $K$ y $L$ están sobre $\overline{AC}$ y $\overline{AB}$ respectivamente de modo que $AK = CK,$ y $\overline{CL}$ es la bisectriz del ángulo $C.$ Sea $P$ el punto de intersección de $\overline{BK}$ y $\overline{CL},$ y sea $M$ el punto sobre la recta $BK$ para el cual $K$ es el punto medio de $\overline{PM}.$ Si $AM = 180,$ halla $LP.$

Triangle $ABC$ has $AC = 450$ and $BC = 300.$ Points $K$ and $L$ are located on $\overline{AC}$ and $\overline{AB}$ respectively so that $AK = CK,$ and $\overline{CL}$ is the angle bisector of angle $C.$ Let $P$ be the point of intersection of $\overline{BK}$ and $\overline{CL},$ and let $M$ be the point on line $BK$ for which $K$ is the midpoint of $\overline{PM}.$ If $AM = 180,$ find $LP.$

Respuesta

Solución:

Como $AK = CK$ y $K$ es el punto medio de $\overline{PM},$ las diagonales del cuadrilátero $APCM$ se bisecan mutuamente, así que $APCM$ es un paralelogramo y $AM \parallel CP.$ Como $P$ está sobre la recta $CL$ y $B,$ $P,$ $M$ están todos sobre la recta $BK,$ los triángulos $BLP$ y $BAM$ son semejantes.

Así $\frac{LP}{AM} = \frac{BL}{BA}.$ El teorema de la bisectriz da $\frac{AL}{LB} = \frac{AC}{BC} = \frac{450}{300} = \frac{3}{2},$ de modo que $\frac{BL}{BA} = \frac{2}{2 + 3} = \frac{2}{5}.$

Por tanto $LP = \frac{2}{5} \cdot AM = \frac{2}{5} \cdot 180 = 72.$

Because $AK = CK$ and $K$ is the midpoint of $\overline{PM},$ the diagonals of quadrilateral $APCM$ bisect each other, so $APCM$ is a parallelogram and $AM \parallel CP.$ Since $P$ lies on line $CL$ and $B,$ $P,$ $M$ all lie on line $BK,$ triangles $BLP$ and $BAM$ are similar.

Thus $\frac{LP}{AM} = \frac{BL}{BA}.$ The angle bisector theorem gives $\frac{AL}{LB} = \frac{AC}{BC} = \frac{450}{300} = \frac{3}{2},$ so $\frac{BL}{BA} = \frac{2}{2 + 3} = \frac{2}{5}.$

Therefore $LP = \frac{2}{5} \cdot AM = \frac{2}{5} \cdot 180 = 72.$

2009 AIME I Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años