Question

El rectángulo $ABCD$ tiene dimensiones $AB = 107$ y $BC = 16,$ y el rectángulo $EFGH$ tiene dimensiones $EF = 184$ y $FG = 17.$ Los puntos $D,$ $E,$ $C,$ y $F$ están sobre la recta $DF$ en ese orden, y $A$ y $H$ están en lados opuestos de la recta $DF,$ como se muestra. Los puntos $A,$ $D,$ $H,$ y $G$ están sobre una circunferencia común. Halla $CE.$

Rectangle $ABCD$ has dimensions $AB = 107$ and $BC = 16,$ and rectangle $EFGH$ has dimensions $EF = 184$ and $FG = 17.$ Points $D,$ $E,$ $C,$ and $F$ lie on line $DF$ in that order, and $A$ and $H$ lie on opposite sides of line $DF,$ as shown. Points $A,$ $D,$ $H,$ and $G$ lie on a common circle. Find $CE.$

Respuesta

Solución:

Coloca la recta $DF$ sobre el eje $x$ , con $D = (0, 0)$ y $C = (107, 0),$ de modo que $A = (0, -16).$ Sea $DE = e.$ Entonces $E = (e, 0),$ $F = (e + 184, 0),$ y el segundo rectángulo queda por encima de la recta: $H = (e, 17)$ y $G = (e + 184, 17).$

El centro de la circunferencia que pasa por $A,$ $D,$ $H,$ $G$ está sobre la mediatriz del segmento vertical $\overline{AD},$ la recta $y = -8,$ y sobre la mediatriz del segmento horizontal $\overline{HG},$ la recta $x = e + 92.$ Igualando los cuadrados de las distancias del centro a $D$ y a $H,$ $\begin{aligned} &(e + 92)^2 + 8^2 \\ &= 92^2 + 25^2 = 9089, \end{aligned}$ así que $(e + 92)^2 = 9025$ y $e + 92 = 95,$ lo que da $e = 3.$

Por lo tanto $CE = DC - DE$ $= 107 - 3 = 104.$

Put line $DF$ on the $x$ -axis with $D = (0, 0)$ and $C = (107, 0),$ so $A = (0, -16).$ Let $DE = e.$ Then $E = (e, 0),$ $F = (e + 184, 0),$ and the second rectangle sits above the line: $H = (e, 17)$ and $G = (e + 184, 17).$

The center of the circle through $A,$ $D,$ $H,$ $G$ lies on the perpendicular bisector of the vertical segment $\overline{AD},$ the line $y = -8,$ and on the perpendicular bisector of the horizontal segment $\overline{HG},$ the line $x = e + 92.$ Equating the center's squared distances to $D$ and to $H,$ $\begin{aligned} &(e + 92)^2 + 8^2 \\ &= 92^2 + 25^2 = 9089, \end{aligned}$ so $(e + 92)^2 = 9025$ and $e + 92 = 95,$ giving $e = 3.$

Therefore $CE = DC - DE$ $= 107 - 3 = 104.$

2024 AIME I Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años