Question

Anh leyó un libro. El primer día leyó $n$ páginas en $t$ minutos, donde $n$ y $t$ son enteros positivos. El segundo día Anh leyó $n + 1$ páginas en $t + 1$ minutos. Cada día siguiente Anh leyó una página más que el día anterior, y le tomó un minuto más que el día anterior hasta que leyó por completo el libro de $374$ páginas. Le tomó un total de $319$ minutos leer el libro. Halla $n + t.$

Anh read a book. On the first day she read $n$ pages in $t$ minutes, where $n$ and $t$ are positive integers. On the second day Anh read $n + 1$ pages in $t + 1$ minutes. Each day thereafter Anh read one more page than she read on the previous day, and it took her one more minute than on the previous day until she completely read the $374$ page book. It took her a total of $319$ minutes to read the book. Find $n + t.$

Respuesta

Solución:

Supongamos que Anh terminó el día $k.$ Sumando las progresiones aritméticas de páginas y de minutos, $\frac{k(2n + k - 1)}{2} = 374$ y $\frac{k(2t + k - 1)}{2} = 319,$ así que $k(2n + k - 1) = 748$ y $k(2t + k - 1) = 638.$

Restando, $2k(n - t) = 110,$ así que $k(n - t) = 55.$ Por lo tanto $k$ divide tanto a $55$ como a $\gcd(748, 638) = 22,$ así que $k \mid 11.$ Como la historia abarca más de un día, $k = 11.$

Entonces $2n + 10 = \frac{748}{11} = 68$ da $n = 29,$ y $2t + 10 = \frac{638}{11} = 58$ da $t = 24.$ Por lo tanto $n + t = 29 + 24 = 53.$

Say Anh finished on day $k.$ Summing the arithmetic progressions of pages and of minutes, $\frac{k(2n + k - 1)}{2} = 374$ and $\frac{k(2t + k - 1)}{2} = 319,$ so $k(2n + k - 1) = 748$ and $k(2t + k - 1) = 638.$

Subtracting, $2k(n - t) = 110,$ so $k(n - t) = 55.$ Thus $k$ divides both $55$ and $\gcd(748, 638) = 22,$ so $k \mid 11.$ Since the story spans more than one day, $k = 11.$

Then $2n + 10 = \frac{748}{11} = 68$ gives $n = 29,$ and $2t + 10 = \frac{638}{11} = 58$ gives $t = 24.$ Hence $n + t = 29 + 24 = 53.$

2016 AIME I Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años