Question

En $\triangle ABC$ sea $I$ el centro de la circunferencia inscrita, y sea la bisectriz de $\angle ACB$ que corta a $\overline{AB}$ en $L.$ La recta que pasa por $C$ y $L$ corta a la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ en los dos puntos $C$ y $D.$ Si $LI = 2$ y $LD = 3,$ entonces $IC = \frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $p + q.$

In $\triangle ABC$ let $I$ be the center of the inscribed circle, and let the bisector of $\angle ACB$ intersect $\overline{AB}$ at $L.$ The line through $C$ and $L$ intersects the circumscribed circle of $\triangle ABC$ at the two points $C$ and $D.$ If $LI = 2$ and $LD = 3,$ then $IC = \frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q.$

Respuesta

Solución:

El incentro $I$ está sobre la bisectriz $\overline{CL},$ entre $C$ y $L.$ En el triángulo $ACI,$ el ángulo exterior en $I$ da $\angle DIA = \angle IAC + \angle ICA.$ Por otro lado, $\angle DAB = \angle DCB$ (ambos subtienden el arco $DB$ ) y $\angle DCB = \angle ICA$ (la bisectriz), así que $\begin{aligned} \angle DAI &= \angle DAB \\ &\quad {}+ \angle BAI \\ &= \angle ICA + \angle IAC \\ &= \angle DIA. \end{aligned}$ Por lo tanto el triángulo $DAI$ es isósceles con $DA = DI = DL + LI = 5.$

Los triángulos $DAL$ y $DCA$ tienen un ángulo común en $D,$ y $\angle DAL = \angle DAB = \angle DCB$ $= \angle DCA,$ así que son semejantes. Por lo tanto $\frac{DA}{DC} = \frac{DL}{DA},$ lo que da $DC = \frac{DA^2}{DL} = \frac{25}{3}.$

Finalmente $IC = DC - DI = \frac{25}{3} - 5 = \frac{10}{3},$ así que $p + q = 10 + 3 = 13.$

The incenter $I$ lies on the bisector $\overline{CL},$ between $C$ and $L.$ In triangle $ACI,$ the exterior angle at $I$ gives $\angle DIA = \angle IAC + \angle ICA.$ On the other hand, $\angle DAB = \angle DCB$ (both subtend arc $DB$ ) and $\angle DCB = \angle ICA$ (the bisector), so $\begin{aligned} \angle DAI &= \angle DAB \\ &\quad {}+ \angle BAI \\ &= \angle ICA + \angle IAC \\ &= \angle DIA. \end{aligned}$ Hence triangle $DAI$ is isosceles with $DA = DI = DL + LI = 5.$

Triangles $DAL$ and $DCA$ have a common angle at $D,$ and $\angle DAL = \angle DAB = \angle DCB$ $= \angle DCA,$ so they are similar. Therefore $\frac{DA}{DC} = \frac{DL}{DA},$ giving $DC = \frac{DA^2}{DL} = \frac{25}{3}.$

Finally $IC = DC - DI = \frac{25}{3} - 5 = \frac{10}{3},$ so $p + q = 10 + 3 = 13.$

2016 AIME I Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años