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2003 AIME II Problema 6

Intenta el Problema 6 del 2003 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2003 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

6.

En △ABC,\triangle ABC, AB=13,AB = 13, BC=14,BC = 14, AC=15,AC = 15, y el punto GG es la intersección de las medianas. Los puntos A′,A', B′,B', y C′C' son las imágenes de A,A, B,B, y C,C, respectivamente, tras una rotación de 180∘180^\circ alrededor de G.G. ¿Cuál es el área de la unión de las dos regiones encerradas por los triángulos ABCABC y A′B′C′A'B'C'?
In △ABC,\triangle ABC, AB=13,AB = 13, BC=14,BC = 14, AC=15,AC = 15, and point GG is the intersection of the medians. Points A′,A', B′,B', and C′C' are the images of A,A, B,B, and C,C, respectively, after a 180∘180^\circ rotation about G.G. What is the area of the union of the two regions enclosed by the triangles ABCABC and A′B′C′?A'B'C'?
Respuesta: 112
Conceptos:transformaciónbaricentrosemejanzaFórmula de Herón
Nivel de dificultad: 2510
Pista pequeña:
La rotación de 180∘180^\circ lleva cada recta a una recta paralela, así que los dos triángulos se solapan en un hexágono central
The 180∘180^\circ rotation takes each line to a parallel line, so the two triangles overlap in a central hexagon
Pista grande:
El centroide se sitúa a 13\frac{1}{3} de cada altura, así que A′A' queda a una altura de h3\frac{h}{3} más allá de la recta BCBC; cada esquina saliente es semejante al triángulo con razón 13\frac{1}{3}
The centroid sits at 13\frac{1}{3} of each height, so A′A' lands at height h3\frac{h}{3} beyond line BC;BC; each protruding corner is similar to the triangle with ratio 13\frac{1}{3}
Solución:
Una rotación de 180∘180^\circ lleva cada recta a una recta paralela, así que △A′B′C′\triangle A'B'C' es congruente con △ABC\triangle ABC con lados paralelos. Considera BCBC como horizontal y sea hh la altura de AA sobre ella. El centroide GG está a la altura h3,\frac{h}{3}, así que A′,A', el reflejo de AA a través de G,G, está a la altura 2⋅h3−h=−h3,2 \cdot \frac{h}{3} - h = -\frac{h}{3}, al otro lado de la recta BC,BC, mientras que B′B' y C′C' están a la altura 2h3.\frac{2h}{3}.
La recta BCBC por lo tanto recorta la esquina de △A′B′C′\triangle A'B'C' en A′:A': el corte es paralelo a B′C′,B'C', y la altura de la esquina h3\frac{h}{3} es un tercio de la altura completa del triángulo h,h, así que la esquina es semejante con razón 13\frac{1}{3} y tiene área 19[ABC].\frac{1}{9}[ABC]. Lo mismo ocurre en cada lado de △ABC,\triangle ABC, y estas tres esquinas son exactamente la parte de △A′B′C′\triangle A'B'C' fuera de △ABC.\triangle ABC. Por lo tanto, la unión tiene área [ABC]+3⋅19[ABC]=43[ABC]. \begin{aligned} &[ABC] + 3 \cdot \tfrac{1}{9}[ABC] \\ &= \tfrac{4}{3}[ABC]. \end{aligned}
Por la fórmula de Herón con s=21,s = 21, [ABC]=21⋅8⋅7⋅6=84,[ABC] = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84, así que la unión tiene área 43⋅84=112.\frac{4}{3} \cdot 84 = 112.
A 180∘180^\circ rotation takes each line to a parallel line, so △A′B′C′\triangle A'B'C' is congruent to △ABC\triangle ABC with parallel sides. View BCBC as horizontal and let hh be the height of AA above it. The centroid GG is at height h3,\frac{h}{3}, so A′,A', the reflection of AA through G,G, is at height 2⋅h3−h=−h3,2 \cdot \frac{h}{3} - h = -\frac{h}{3}, on the far side of line BC,BC, while B′B' and C′C' are at height 2h3.\frac{2h}{3}.
Line BCBC therefore slices off the corner of △A′B′C′\triangle A'B'C' at A′:A': the cut is parallel to B′C′,B'C', and the corner’s height h3\frac{h}{3} is one third of the triangle’s full height h,h, so the corner is similar with ratio 13\frac{1}{3} and has area 19[ABC].\frac{1}{9}[ABC]. The same happens at each side of △ABC,\triangle ABC, and these three corners are exactly the part of △A′B′C′\triangle A'B'C' outside △ABC.\triangle ABC. Hence the union has area [ABC]+3⋅19[ABC]=43[ABC]. \begin{aligned} &[ABC] + 3 \cdot \tfrac{1}{9}[ABC] \\ &= \tfrac{4}{3}[ABC]. \end{aligned}
By Heron’s formula with s=21,s = 21, [ABC]=21⋅8⋅7⋅6=84,[ABC] = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84, so the union has area 43⋅84=112.\frac{4}{3} \cdot 84 = 112.
Problema 5#5
Examen completo
Problema 7#7

El Problema 6 en otros años

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