Question

En $\triangle ABC,$ $AB = 13,$ $BC = 14,$ $AC = 15,$ y el punto $G$ es la intersección de las medianas. Los puntos $A',$ $B',$ y $C'$ son las imágenes de $A,$ $B,$ y $C,$ respectivamente, tras una rotación de $180^\circ$ alrededor de $G.$ ¿Cuál es el área de la unión de las dos regiones encerradas por los triángulos $ABC$ y $A'B'C'$ ?

In $\triangle ABC,$ $AB = 13,$ $BC = 14,$ $AC = 15,$ and point $G$ is the intersection of the medians. Points $A',$ $B',$ and $C'$ are the images of $A,$ $B,$ and $C,$ respectively, after a $180^\circ$ rotation about $G.$ What is the area of the union of the two regions enclosed by the triangles $ABC$ and $A'B'C'?$

Respuesta

Solución:

Una rotación de $180^\circ$ lleva cada recta a una recta paralela, así que $\triangle A'B'C'$ es congruente con $\triangle ABC$ con lados paralelos. Considera $BC$ como horizontal y sea $h$ la altura de $A$ sobre ella. El centroide $G$ está a la altura $\frac{h}{3},$ así que $A',$ el reflejo de $A$ a través de $G,$ está a la altura $2 \cdot \frac{h}{3} - h = -\frac{h}{3},$ al otro lado de la recta $BC,$ mientras que $B'$ y $C'$ están a la altura $\frac{2h}{3}.$

La recta $BC$ por lo tanto recorta la esquina de $\triangle A'B'C'$ en $A':$ el corte es paralelo a $B'C',$ y la altura de la esquina $\frac{h}{3}$ es un tercio de la altura completa del triángulo $h,$ así que la esquina es semejante con razón $\frac{1}{3}$ y tiene área $\frac{1}{9}[ABC].$ Lo mismo ocurre en cada lado de $\triangle ABC,$ y estas tres esquinas son exactamente la parte de $\triangle A'B'C'$ fuera de $\triangle ABC.$ Por lo tanto, la unión tiene área $\begin{aligned} &[ABC] + 3 \cdot \tfrac{1}{9}[ABC] \\ &= \tfrac{4}{3}[ABC]. \end{aligned}$

Por la fórmula de Herón con $s = 21,$ $[ABC] = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84,$ así que la unión tiene área $\frac{4}{3} \cdot 84 = 112.$

A $180^\circ$ rotation takes each line to a parallel line, so $\triangle A'B'C'$ is congruent to $\triangle ABC$ with parallel sides. View $BC$ as horizontal and let $h$ be the height of $A$ above it. The centroid $G$ is at height $\frac{h}{3},$ so $A',$ the reflection of $A$ through $G,$ is at height $2 \cdot \frac{h}{3} - h = -\frac{h}{3},$ on the far side of line $BC,$ while $B'$ and $C'$ are at height $\frac{2h}{3}.$

Line $BC$ therefore slices off the corner of $\triangle A'B'C'$ at $A':$ the cut is parallel to $B'C',$ and the corner's height $\frac{h}{3}$ is one third of the triangle's full height $h,$ so the corner is similar with ratio $\frac{1}{3}$ and has area $\frac{1}{9}[ABC].$ The same happens at each side of $\triangle ABC,$ and these three corners are exactly the part of $\triangle A'B'C'$ outside $\triangle ABC.$ Hence the union has area $\begin{aligned} &[ABC] + 3 \cdot \tfrac{1}{9}[ABC] \\ &= \tfrac{4}{3}[ABC]. \end{aligned}$

By Heron's formula with $s = 21,$ $[ABC] = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84,$ so the union has area $\frac{4}{3} \cdot 84 = 112.$

2003 AIME II Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años