Soluciones del 2003 AIME II | LIVE by Po-Shen Loh

1.

El producto $N$ de tres enteros positivos es $6$ veces su suma, y uno de los enteros es la suma de los otros dos. Halla la suma de todos los valores posibles de $N.$

The product $N$ of three positive integers is $6$ times their sum, and one of the integers is the sum of the other two. Find the sum of all possible values of $N.$

Respuesta

Conceptos:Ecuación diofántica factorización

Nivel de dificultad: 1840

Solución:

Sean los enteros $a,$ $b,$ y $c = a + b.$ Entonces $\begin{aligned} N &= abc = 6(a + b + c) \\ &= 6 \cdot 2c = 12c, \end{aligned}$ y al cancelar $c$ en $abc = 12c$ queda $ab = 12.$

Las factorizaciones $(a, b) = (1, 12),$ $(2, 6),$ $(3, 4)$ dan $c = 13,$ $8,$ $7$ y $N = 12c = 156,$ $96,$ $84.$ La suma de todos los valores posibles es $156 + 96 + 84 = 336.$

Let the integers be $a,$ $b,$ and $c = a + b.$ Then $\begin{aligned} N &= abc = 6(a + b + c) \\ &= 6 \cdot 2c = 12c, \end{aligned}$ and cancelling $c$ from $abc = 12c$ leaves $ab = 12.$

The factorizations $(a, b) = (1, 12),$ $(2, 6),$ $(3, 4)$ give $c = 13,$ $8,$ $7$ and $N = 12c = 156,$ $96,$ $84.$ The sum of all possible values is $156 + 96 + 84 = 336.$

2.

Sea $N$ el mayor múltiplo entero de $8,$ tal que no haya dos de sus dígitos iguales. ¿Cuál es el residuo cuando $N$ se divide entre $1000$ ?

Let $N$ be the greatest integer multiple of $8,$ no two of whose digits are the same. What is the remainder when $N$ is divided by $1000?$

Respuesta

Conceptos:divisibilidad dígitos

Nivel de dificultad: 1970

Solución:

Un entero es divisible entre $8$ exactamente cuando lo es el número formado por sus últimos tres dígitos. Para hacer $N$ lo más grande posible, usa los diez dígitos una vez cada uno y coloca los dígitos mayores primero: los dígitos iniciales son $9876543,$ y los tres dígitos finales son alguna disposición de $0,$ $1,$ $2$ , siempre que una de esas disposiciones sea múltiplo de $8.$

Al verificar $012,$ $021,$ $102,$ $120,$ $201,$ $210,$ el único múltiplo de $8$ es $120.$ Así $N = 9{,}876{,}543{,}120,$ y el residuo al dividir entre $1000$ es $120.$

An integer is divisible by $8$ exactly when the number formed by its last three digits is. To make $N$ as large as possible, use all ten digits once each and put the largest digits first: the leading digits are $9876543,$ and the final three digits are some arrangement of $0,$ $1,$ $2$ — provided one of those arrangements is a multiple of $8.$

Checking $012,$ $021,$ $102,$ $120,$ $201,$ $210,$ the only multiple of $8$ is $120.$ So $N = 9{,}876{,}543{,}120,$ and the remainder upon division by $1000$ is $120.$

3.

Define una palabra buena como una secuencia de letras que consta únicamente de las letras $A,$ $B,$ y $C$ (algunas de estas letras pueden no aparecer en la secuencia), en la que $A$ nunca va seguida inmediatamente de $B,$ $B$ nunca va seguida inmediatamente de $C,$ y $C$ nunca va seguida inmediatamente de $A.$ ¿Cuántas palabras buenas de siete letras hay?

Define a good word as a sequence of letters that consists only of the letters $A,$ $B,$ and $C$ — some of these letters may not appear in the sequence — and in which $A$ is never immediately followed by $B,$ $B$ is never immediately followed by $C,$ and $C$ is never immediately followed by $A.$ How many seven-letter good words are there?

Respuesta

Conceptos:arreglos con restricciones principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1750

Solución:

Cada letra descarta exactamente un sucesor ( $A$ prohíbe $B,$ $B$ prohíbe $C,$ $C$ prohíbe $A$ ), así que sea cual sea la letra recién escrita, exactamente $2$ de las $3$ letras pueden venir a continuación.

Con $3$ opciones para la primera letra y $2$ para cada una de las seis posiciones restantes, el número de palabras buenas de siete letras es $3 \cdot 2^6 = 192.$

Each letter rules out exactly one successor ( $A$ forbids $B,$ $B$ forbids $C,$ $C$ forbids $A$ ), so whatever letter has just been written, exactly $2$ of the $3$ letters may come next.

With $3$ choices for the first letter and $2$ for each of the remaining six positions, the number of seven-letter good words is $3 \cdot 2^6 = 192.$

4.

En un tetraedro regular, los centros de las cuatro caras son los vértices de un tetraedro más pequeño. La razón entre el volumen del tetraedro más pequeño y el del más grande es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

In a regular tetrahedron, the centers of the four faces are the vertices of a smaller tetrahedron. The ratio of the volume of the smaller tetrahedron to that of the larger is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:homotecia baricentro escalamiento de potencias de longitud, área y volumen

Nivel de dificultad: 2180

Solución:

Usa vectores de posición, y sea $G = \frac{A + B + C + D}{4}$ el centroide del tetraedro. El centro de la cara opuesta a $A$ es $\begin{aligned} \frac{B + C + D}{3} &= \frac{4G - A}{3} \\ &= G - \frac{1}{3}(A - G), \end{aligned}$ así que cada centro de cara es la imagen del vértice opuesto bajo la homotecia centrada en $G$ con razón $-\frac{1}{3}.$

Por lo tanto, el tetraedro más pequeño es semejante al más grande con razón $\frac{1}{3},$ y su volumen es $\left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$ del más grande. Así $m + n = 1 + 27 = 28.$

Use position vectors, and let $G = \frac{A + B + C + D}{4}$ be the centroid of the tetrahedron. The center of the face opposite $A$ is $\begin{aligned} \frac{B + C + D}{3} &= \frac{4G - A}{3} \\ &= G - \frac{1}{3}(A - G), \end{aligned}$ so each face center is the image of the opposite vertex under the homothety centered at $G$ with ratio $-\frac{1}{3}.$

Hence the smaller tetrahedron is similar to the larger with ratio $\frac{1}{3},$ and its volume is $\left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$ of the larger. Thus $m + n = 1 + 27 = 28.$

5.

Un tronco cilíndrico tiene diámetro $12$ pulgadas. Se corta una cuña del tronco haciendo dos cortes planos que atraviesan por completo el tronco. El primero es perpendicular al eje del cilindro, y el plano del segundo corte forma un ángulo de $45^\circ$ con el plano del primer corte. La intersección de estos dos planos tiene exactamente un punto en común con el tronco. El número de pulgadas cúbicas de la cuña puede expresarse como $n\pi,$ donde $n$ es un entero positivo. Halla $n.$

A cylindrical log has diameter $12$ inches. A wedge is cut from the log by making two planar cuts that go entirely through the log. The first is perpendicular to the axis of the cylinder, and the plane of the second cut forms a $45^\circ$ angle with the plane of the first cut. The intersection of these two planes has exactly one point in common with the log. The number of cubic inches in the wedge can be expressed as $n\pi,$ where $n$ is a positive integer. Find $n.$

Respuesta

Conceptos:cilindro volumen simetría

Nivel de dificultad: 2300

Solución:

Toma el primer corte como horizontal. La recta donde se encuentran los dos planos de corte toca el tronco en exactamente un punto, así que es tangente a la sección transversal circular de radio $6.$ Por lo tanto, la cuña se sitúa sobre todo el disco: su altura es $0$ en el punto de tangencia y, como el segundo corte está a $45^\circ,$ crece linealmente hasta $12$ en el punto diametralmente opuesto.

Empareja cada punto del disco con su imagen reflejada a través del centro: las alturas de la cuña sobre los dos puntos suman exactamente $12.$ Así, dos copias de la cuña se ensamblan en un cilindro de radio $6$ y altura $12,$ y el volumen de la cuña es $\frac{1}{2}\,\pi \cdot 6^2 \cdot 12 = 216\pi.$ Así $n = 216.$

Take the first cut as horizontal. The line where the two cutting planes meet touches the log at exactly one point, so it is tangent to the circular cross-section of radius $6.$ The wedge therefore stands over the entire disk: its height is $0$ at the tangent point and, because the second cut is at $45^\circ,$ it rises linearly to $12$ at the diametrically opposite point.

Pair each point of the disk with its mirror image through the center: the wedge's heights over the two points add to exactly $12.$ So two copies of the wedge fit together into a cylinder of radius $6$ and height $12,$ and the wedge's volume is $\frac{1}{2}\,\pi \cdot 6^2 \cdot 12 = 216\pi.$ Thus $n = 216.$

6.

En $\triangle ABC,$ $AB = 13,$ $BC = 14,$ $AC = 15,$ y el punto $G$ es la intersección de las medianas. Los puntos $A',$ $B',$ y $C'$ son las imágenes de $A,$ $B,$ y $C,$ respectivamente, tras una rotación de $180^\circ$ alrededor de $G.$ ¿Cuál es el área de la unión de las dos regiones encerradas por los triángulos $ABC$ y $A'B'C'$ ?

In $\triangle ABC,$ $AB = 13,$ $BC = 14,$ $AC = 15,$ and point $G$ is the intersection of the medians. Points $A',$ $B',$ and $C'$ are the images of $A,$ $B,$ and $C,$ respectively, after a $180^\circ$ rotation about $G.$ What is the area of the union of the two regions enclosed by the triangles $ABC$ and $A'B'C'?$

Respuesta

Conceptos:transformación baricentro semejanza Fórmula de Herón

Nivel de dificultad: 2510

Solución:

Una rotación de $180^\circ$ lleva cada recta a una recta paralela, así que $\triangle A'B'C'$ es congruente con $\triangle ABC$ con lados paralelos. Considera $BC$ como horizontal y sea $h$ la altura de $A$ sobre ella. El centroide $G$ está a la altura $\frac{h}{3},$ así que $A',$ el reflejo de $A$ a través de $G,$ está a la altura $2 \cdot \frac{h}{3} - h = -\frac{h}{3},$ al otro lado de la recta $BC,$ mientras que $B'$ y $C'$ están a la altura $\frac{2h}{3}.$

La recta $BC$ por lo tanto recorta la esquina de $\triangle A'B'C'$ en $A':$ el corte es paralelo a $B'C',$ y la altura de la esquina $\frac{h}{3}$ es un tercio de la altura completa del triángulo $h,$ así que la esquina es semejante con razón $\frac{1}{3}$ y tiene área $\frac{1}{9}[ABC].$ Lo mismo ocurre en cada lado de $\triangle ABC,$ y estas tres esquinas son exactamente la parte de $\triangle A'B'C'$ fuera de $\triangle ABC.$ Por lo tanto, la unión tiene área $\begin{aligned} &[ABC] + 3 \cdot \tfrac{1}{9}[ABC] \\ &= \tfrac{4}{3}[ABC]. \end{aligned}$

Por la fórmula de Herón con $s = 21,$ $[ABC] = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84,$ así que la unión tiene área $\frac{4}{3} \cdot 84 = 112.$

A $180^\circ$ rotation takes each line to a parallel line, so $\triangle A'B'C'$ is congruent to $\triangle ABC$ with parallel sides. View $BC$ as horizontal and let $h$ be the height of $A$ above it. The centroid $G$ is at height $\frac{h}{3},$ so $A',$ the reflection of $A$ through $G,$ is at height $2 \cdot \frac{h}{3} - h = -\frac{h}{3},$ on the far side of line $BC,$ while $B'$ and $C'$ are at height $\frac{2h}{3}.$

Line $BC$ therefore slices off the corner of $\triangle A'B'C'$ at $A':$ the cut is parallel to $B'C',$ and the corner's height $\frac{h}{3}$ is one third of the triangle's full height $h,$ so the corner is similar with ratio $\frac{1}{3}$ and has area $\frac{1}{9}[ABC].$ The same happens at each side of $\triangle ABC,$ and these three corners are exactly the part of $\triangle A'B'C'$ outside $\triangle ABC.$ Hence the union has area $\begin{aligned} &[ABC] + 3 \cdot \tfrac{1}{9}[ABC] \\ &= \tfrac{4}{3}[ABC]. \end{aligned}$

By Heron's formula with $s = 21,$ $[ABC] = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84,$ so the union has area $\frac{4}{3} \cdot 84 = 112.$

7.

Halla el área del rombo $ABCD$ dado que los radios de las circunferencias circunscritas a los triángulos $ABD$ y $ACD$ son $12.5$ y $25,$ respectivamente.

Find the area of rhombus $ABCD$ given that the radii of the circles circumscribed around triangles $ABD$ and $ACD$ are $12.5$ and $25,$ respectively.

Respuesta

Conceptos:rombo ley de los senos circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio

Nivel de dificultad: 2560

Solución:

Sea $s$ la longitud del lado y $\alpha = \angle BAC$ (la diagonal $AC$ biseca el ángulo $A$ ). Entonces las diagonales tienen longitudes $AC = 2s\cos\alpha$ y $BD = 2s\sin\alpha.$ En el triángulo $ABD,$ el lado $BD$ subtiende el ángulo $\angle BAD = 2\alpha,$ así que la ley extendida de los senos da $\begin{aligned} 12.5 = R_1 &= \frac{BD}{2\sin 2\alpha} \\ &= \frac{2s\sin\alpha}{4\sin\alpha\cos\alpha} \\ &= \frac{s}{2\cos\alpha}. \end{aligned}$ En el triángulo $ACD,$ el lado $AC$ subtiende $\angle ADC = 180^\circ - 2\alpha,$ así que de manera similar $25 = R_2 = \frac{s}{2\sin\alpha}.$

Al dividir, $\tan\alpha = \frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2},$ así que $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$ y $\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}.$ Entonces $s = 2R_2\sin\alpha = \frac{50}{\sqrt{5}} = 10\sqrt{5}.$

El área es la mitad del producto de las diagonales: $\begin{aligned} &\frac{1}{2} \cdot 2s\cos\alpha \cdot 2s\sin\alpha \\ &= 2s^2\sin\alpha\cos\alpha \\ &= 2 \cdot 500 \cdot \frac{2}{5} = 400. \end{aligned}$

Let $s$ be the side length and $\alpha = \angle BAC$ (the diagonal $AC$ bisects angle $A$ ). The diagonals then have lengths $AC = 2s\cos\alpha$ and $BD = 2s\sin\alpha.$ In triangle $ABD,$ side $BD$ subtends the angle $\angle BAD = 2\alpha,$ so the extended law of sines gives $\begin{aligned} 12.5 = R_1 &= \frac{BD}{2\sin 2\alpha} \\ &= \frac{2s\sin\alpha}{4\sin\alpha\cos\alpha} \\ &= \frac{s}{2\cos\alpha}. \end{aligned}$ In triangle $ACD,$ side $AC$ subtends $\angle ADC = 180^\circ - 2\alpha,$ so similarly $25 = R_2 = \frac{s}{2\sin\alpha}.$

Dividing, $\tan\alpha = \frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2},$ so $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$ and $\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}.$ Then $s = 2R_2\sin\alpha = \frac{50}{\sqrt{5}} = 10\sqrt{5}.$

The area is half the product of the diagonals: $\begin{aligned} &\frac{1}{2} \cdot 2s\cos\alpha \cdot 2s\sin\alpha \\ &= 2s^2\sin\alpha\cos\alpha \\ &= 2 \cdot 500 \cdot \frac{2}{5} = 400. \end{aligned}$

8.

Halla el octavo término de la sucesión $1440,$ $1716,$ $1848, \ldots,$ cuyos términos se forman multiplicando los términos correspondientes de dos sucesiones aritméticas.

Find the eighth term of the sequence $1440,$ $1716,$ $1848, \ldots,$ whose terms are formed by multiplying the corresponding terms of two arithmetic sequences.

Respuesta

Conceptos:sucesión aritmética cuadrática sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2340

Solución:

El $n$ -ésimo término de una sucesión aritmética es lineal en $n,$ así que el producto de los términos correspondientes de dos sucesiones aritméticas es una cuadrática $t_n = an^2 + bn + c.$ Indexando los términos dados con $n = 0, 1, 2:$ $\begin{aligned} c &= 1440, \\ a + b + c &= 1716, \\ 4a + 2b + c &= 1848, \end{aligned}$ que dan $a + b = 276$ y $2a + b = 204,$ así que $a = -72,$ $b = 348,$ $c = 1440.$

El octavo término es $t_7 = -72 \cdot 49$ $+ 348 \cdot 7$ $+ 1440 = 348.$ (En efecto $t_n = (180 - 24n)(8 + 3n),$ un producto de dos sucesiones aritméticas que coincide con los términos dados.)

The $n$ th term of an arithmetic sequence is linear in $n,$ so the product of corresponding terms of two arithmetic sequences is a quadratic $t_n = an^2 + bn + c.$ Indexing the given terms by $n = 0, 1, 2:$ $\begin{aligned} c &= 1440, \\ a + b + c &= 1716, \\ 4a + 2b + c &= 1848, \end{aligned}$ which give $a + b = 276$ and $2a + b = 204,$ so $a = -72,$ $b = 348,$ $c = 1440.$

The eighth term is $t_7 = -72 \cdot 49$ $+ 348 \cdot 7$ $+ 1440 = 348.$ (Indeed $t_n = (180 - 24n)(8 + 3n),$ a product of two arithmetic sequences matching the given terms.)

9.

Considera los polinomios $P(x) = x^6 - x^5 - x^3 - x^2 - x$ y $Q(x) = x^4 - x^3 - x^2 - 1.$ Dado que $z_1,$ $z_2,$ $z_3,$ y $z_4$ son las raíces de $Q(x) = 0,$ halla $P(z_1) + P(z_2) + P(z_3) + P(z_4).$

Consider the polynomials $P(x) = x^6 - x^5 - x^3 - x^2 - x$ and $Q(x) = x^4 - x^3 - x^2 - 1.$ Given that $z_1,$ $z_2,$ $z_3,$ and $z_4$ are the roots of $Q(x) = 0,$ find $P(z_1) + P(z_2) + P(z_3) + P(z_4).$

Respuesta

Conceptos:polinomio Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 2400

Solución:

La división de polinomios da $\begin{aligned} &P(x) = Q(x)\,(x^2 + 1) \\ &\quad {}+ x^2 - x + 1, \end{aligned}$ así que $P(z_i) = z_i^2 - z_i + 1$ para cada raíz $z_i$ de $Q.$

Por las fórmulas de Vieta para $Q(x) = x^4 - x^3 - x^2 - 1,$ tenemos $\sum z_i = 1$ y $\sum_{i \lt j} z_i z_j = -1,$ así que $\sum z_i^2 = \left(\sum z_i\right)^2 - 2\sum_{i \lt j} z_i z_j$ $= 1 + 2 = 3.$ Por lo tanto $\sum_{i=1}^4 P(z_i) = 3 - 1 + 4 = 6.$

Polynomial division gives $\begin{aligned} &P(x) = Q(x)\,(x^2 + 1) \\ &\quad {}+ x^2 - x + 1, \end{aligned}$ so $P(z_i) = z_i^2 - z_i + 1$ for each root $z_i$ of $Q.$

By Vieta's formulas for $Q(x) = x^4 - x^3 - x^2 - 1,$ we have $\sum z_i = 1$ and $\sum_{i \lt j} z_i z_j = -1,$ so $\sum z_i^2 = \left(\sum z_i\right)^2 - 2\sum_{i \lt j} z_i z_j$ $= 1 + 2 = 3.$ Therefore $\sum_{i=1}^4 P(z_i) = 3 - 1 + 4 = 6.$

10.

Dos enteros positivos difieren en $60.$ La suma de sus raíces cuadradas es la raíz cuadrada de un entero que no es un cuadrado perfecto. ¿Cuál es la máxima suma posible de los dos enteros?

Two positive integers differ by $60.$ The sum of their square roots is the square root of an integer that is not a perfect square. What is the maximum possible sum of the two integers?

Respuesta

Conceptos:Ecuación diofántica diferencia de cuadrados cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 2650

Solución:

Sean los enteros $x$ y $x + 60,$ y supongamos $\sqrt{x} + \sqrt{x + 60} = \sqrt{y}.$ Al elevar al cuadrado, $y = 2x + 60 + 2\sqrt{x(x + 60)},$ así que $x(x + 60)$ debe ser un cuadrado perfecto, digamos $z^2.$ Completando el cuadrado, $(x + 30)^2 - z^2 = 900,$ es decir, $(x + 30 + z)(x + 30 - z) = 900.$ Los dos factores tienen la misma paridad y su producto es par, así que ambos son pares.

Los pares de factores $(450, 2),$ $(150, 6),$ $(90, 10),$ $(50, 18)$ dan $x + 30 = 226,$ $78,$ $50,$ $34,$ así que $x = 196,$ $48,$ $20,$ $4.$ Para $x = 196$ los enteros son $196$ y $256,$ ambos cuadrados perfectos, así que $\sqrt{y} = 14 + 16 = 30$ y $y = 900$ es un cuadrado perfecto, lo cual no está permitido. Para $x = 48$ los enteros son $48$ y $108,$ con $\sqrt{48} + \sqrt{108} = 4\sqrt{3} + 6\sqrt{3}$ $= \sqrt{300},$ y $300$ no es un cuadrado perfecto.

Por lo tanto, la máxima suma posible es $48 + 108 = 156.$

Let the integers be $x$ and $x + 60,$ and suppose $\sqrt{x} + \sqrt{x + 60} = \sqrt{y}.$ Squaring, $y = 2x + 60 + 2\sqrt{x(x + 60)},$ so $x(x + 60)$ must be a perfect square, say $z^2.$ Completing the square, $(x + 30)^2 - z^2 = 900,$ i.e. $(x + 30 + z)(x + 30 - z) = 900.$ The two factors have the same parity and their product is even, so both are even.

The factor pairs $(450, 2),$ $(150, 6),$ $(90, 10),$ $(50, 18)$ give $x + 30 = 226,$ $78,$ $50,$ $34,$ so $x = 196,$ $48,$ $20,$ $4.$ For $x = 196$ the integers are $196$ and $256,$ both perfect squares, so $\sqrt{y} = 14 + 16 = 30$ and $y = 900$ is a perfect square — not allowed. For $x = 48$ the integers are $48$ and $108,$ with $\sqrt{48} + \sqrt{108} = 4\sqrt{3} + 6\sqrt{3}$ $= \sqrt{300},$ and $300$ is not a perfect square.

The maximum possible sum is therefore $48 + 108 = 156.$

11.

El triángulo $ABC$ es un triángulo rectángulo con $AC = 7,$ $BC = 24,$ y ángulo recto en $C.$ El punto $M$ es el punto medio de $\overline{AB},$ y $D$ está en el mismo lado de la recta $AB$ que $C$ de modo que $AD = BD = 15.$ Dado que el área de $\triangle CDM$ puede expresarse como $\frac{m\sqrt{n}}{p},$ donde $m,$ $n,$ y $p$ son enteros positivos, $m$ y $p$ son primos entre sí, y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo, halla $m + n + p.$

Triangle $ABC$ is a right triangle with $AC = 7,$ $BC = 24,$ and right angle at $C.$ Point $M$ is the midpoint of $\overline{AB},$ and $D$ is on the same side of line $AB$ as $C$ so that $AD = BD = 15.$ Given that the area of $\triangle CDM$ can be expressed as $\frac{m\sqrt{n}}{p},$ where $m,$ $n,$ and $p$ are positive integers, $m$ and $p$ are relatively prime, and $n$ is not divisible by the square of any prime, find $m + n + p.$

Respuesta

Conceptos:mediana (geometría)ley de los cosenos área del triángulo

Nivel de dificultad: 2840

Solución:

La hipotenusa es $AB = \sqrt{7^2 + 24^2} = 25,$ y la mediana a la hipotenusa da $CM = \frac{25}{2}.$ Como $AD = BD,$ el punto $D$ está sobre la perpendicular a $AB$ en $M,$ así que $DM \perp AB$ y $\begin{aligned} DM &= \sqrt{15^2 - \left(\tfrac{25}{2}\right)^2} \\ &= \sqrt{\tfrac{275}{4}} = \tfrac{5\sqrt{11}}{2}. \end{aligned}$

Sea $\beta = \angle AMC.$ En el triángulo $AMC$ con $AM = CM = \frac{25}{2}$ y $AC = 7,$ la ley de los cosenos da $\begin{aligned} \cos\beta &= \frac{\left(\frac{25}{2}\right)^2 + \left(\frac{25}{2}\right)^2 - 7^2} {2 \cdot \frac{25}{2} \cdot \frac{25}{2}} \\ &= \frac{527}{625}. \end{aligned}$ Como $C$ y $D$ están en el mismo lado de $AB$ y $MD \perp AB,$ tenemos $\angle CMD = 90^\circ - \beta,$ así que $\sin\angle CMD = \cos\beta.$

Por lo tanto $\begin{aligned} [CDM] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{2} \cdot \frac{5\sqrt{11}}{2} \cdot \frac{527}{625} \\ &= \frac{527\sqrt{11}}{40}, \end{aligned}$ y $m + n + p = 527 + 11 + 40$ $= 578.$

The hypotenuse is $AB = \sqrt{7^2 + 24^2} = 25,$ and the median to the hypotenuse gives $CM = \frac{25}{2}.$ Since $AD = BD,$ point $D$ lies on the perpendicular to $AB$ at $M,$ so $DM \perp AB$ and $\begin{aligned} DM &= \sqrt{15^2 - \left(\tfrac{25}{2}\right)^2} \\ &= \sqrt{\tfrac{275}{4}} = \tfrac{5\sqrt{11}}{2}. \end{aligned}$

Let $\beta = \angle AMC.$ In triangle $AMC$ with $AM = CM = \frac{25}{2}$ and $AC = 7,$ the law of cosines gives $\begin{aligned} \cos\beta &= \frac{\left(\frac{25}{2}\right)^2 + \left(\frac{25}{2}\right)^2 - 7^2} {2 \cdot \frac{25}{2} \cdot \frac{25}{2}} \\ &= \frac{527}{625}. \end{aligned}$ Since $C$ and $D$ are on the same side of $AB$ and $MD \perp AB,$ we have $\angle CMD = 90^\circ - \beta,$ so $\sin\angle CMD = \cos\beta.$

Therefore $\begin{aligned} [CDM] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{2} \cdot \frac{5\sqrt{11}}{2} \cdot \frac{527}{625} \\ &= \frac{527\sqrt{11}}{40}, \end{aligned}$ and $m + n + p = 527 + 11 + 40$ $= 578.$

12.

Los miembros de un comité distinguido estaban eligiendo un presidente, y cada miembro dio un voto a uno de los $27$ candidatos. Para cada candidato, el porcentaje exacto de votos que obtuvo el candidato era menor en al menos $1$ que el número de votos de ese candidato. ¿Cuál es el menor número posible de miembros del comité?

The members of a distinguished committee were choosing a president, and each member gave one vote to one of the $27$ candidates. For each candidate, the exact percentage of votes the candidate got was smaller by at least $1$ than the number of votes for that candidate. What is the smallest possible number of members of the committee?

Respuesta

Conceptos:porcentaje desigualdad argumento extremal

Nivel de dificultad: 2920

Solución:

Sea $t$ el número de miembros. Un candidato con $n$ votos tiene porcentaje $\frac{100n}{t},$ así que la condición es $\frac{100n}{t} \le n - 1,$ que se reordena como $n(t - 100) \ge t.$ Esto obliga a que $t \gt 100$ y $n \ge \frac{t}{t - 100}.$

Si $t \le 133,$ entonces $\frac{t}{t - 100} \ge \frac{133}{33} \gt 4,$ así que cada candidato necesita al menos $5$ votos, y el total es al menos $27 \cdot 5 = 135 \gt t,$ lo cual es imposible.

Para $t = 134,$ cada candidato necesita $n \ge \frac{134}{34},$ es decir, al menos $4$ votos, y esto es alcanzable: haz que $26$ candidatos reciban $4$ votos cada uno y uno reciba $30.$ En efecto $\frac{400}{134} \approx 2.99 \le 3$ y $\frac{3000}{134} \approx 22.4 \le 29.$ Así que el menor número posible de miembros es $134.$

Let $t$ be the number of members. A candidate with $n$ votes has percentage $\frac{100n}{t},$ so the condition is $\frac{100n}{t} \le n - 1,$ which rearranges to $n(t - 100) \ge t.$ This forces $t \gt 100$ and $n \ge \frac{t}{t - 100}.$

If $t \le 133,$ then $\frac{t}{t - 100} \ge \frac{133}{33} \gt 4,$ so every candidate needs at least $5$ votes, and the total is at least $27 \cdot 5 = 135 \gt t$ — impossible.

For $t = 134,$ each candidate needs $n \ge \frac{134}{34},$ i.e. at least $4$ votes, and this is achievable: let $26$ candidates receive $4$ votes each and one receive $30.$ Indeed $\frac{400}{134} \approx 2.99 \le 3$ and $\frac{3000}{134} \approx 22.4 \le 29.$ So the smallest possible number of members is $134.$

13.

Un insecto parte de un vértice de un triángulo equilátero. En cada movimiento, selecciona al azar uno de los dos vértices donde no se encuentra actualmente, y se arrastra a lo largo de un lado del triángulo hasta ese vértice. Dado que la probabilidad de que el insecto se mueva a su vértice inicial en su décimo movimiento es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí, halla $m + n.$

A bug starts at a vertex of an equilateral triangle. On each move, it randomly selects one of the two vertices where it is not currently located, and crawls along a side of the triangle to that vertex. Given that the probability that the bug moves to its starting vertex on its tenth move is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:camino aleatorio probabilidad recursiva

Nivel de dificultad: 2650

Solución:

Sea $p_n$ la probabilidad de que el insecto esté en su vértice inicial después de $n$ movimientos, así que $p_0 = 1.$ El insecto está en casa después del movimiento $n + 1$ exactamente cuando estaba en otro lugar después del movimiento $n$ (probabilidad $1 - p_n$ ) y luego eligió el vértice inicial (probabilidad $\frac{1}{2}$ ): $p_{n+1} = \frac{1}{2}(1 - p_n).$

El punto fijo de esta recurrencia es $\frac{1}{3},$ y $p_{n+1} - \frac{1}{3} = -\frac{1}{2}\left(p_n - \frac{1}{3}\right),$ así que $p_n = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n.$

Para $n = 10:$ $\begin{aligned} p_{10} &= \frac{1}{3}\left(1 + \frac{2}{1024}\right) \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{1026}{1024} = \frac{171}{512}. \end{aligned}$ Como $171 = 9 \cdot 19$ y $512 = 2^9$ no comparten factor, $m + n = 171 + 512 = 683.$

Let $p_n$ be the probability that the bug is at its starting vertex after $n$ moves, so $p_0 = 1.$ The bug is home after move $n + 1$ exactly when it was elsewhere after move $n$ (probability $1 - p_n$ ) and then chose the starting vertex (probability $\frac{1}{2}$ ): $p_{n+1} = \frac{1}{2}(1 - p_n).$

The fixed point of this recurrence is $\frac{1}{3},$ and $p_{n+1} - \frac{1}{3} = -\frac{1}{2}\left(p_n - \frac{1}{3}\right),$ so $p_n = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n.$

For $n = 10:$ $\begin{aligned} p_{10} &= \frac{1}{3}\left(1 + \frac{2}{1024}\right) \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{1026}{1024} = \frac{171}{512}. \end{aligned}$ Since $171 = 9 \cdot 19$ and $512 = 2^9$ share no factor, $m + n = 171 + 512 = 683.$

14.

Sean $A = (0, 0)$ y $B = (b, 2)$ puntos en el plano coordenado. Sea $ABCDEF$ un hexágono equilátero convexo tal que $\angle FAB = 120^\circ,$ $\overline{AB} \parallel \overline{DE},$ $\overline{BC} \parallel \overline{EF},$ $\overline{CD} \parallel \overline{FA},$ y las coordenadas $y$ de sus vértices son elementos distintos del conjunto $\{0, 2, 4, 6, 8, 10\}.$ El área del hexágono puede escribirse en la forma $m\sqrt{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $m + n.$

Let $A = (0, 0)$ and $B = (b, 2)$ be points on the coordinate plane. Let $ABCDEF$ be a convex equilateral hexagon such that $\angle FAB = 120^\circ,$ $\overline{AB} \parallel \overline{DE},$ $\overline{BC} \parallel \overline{EF},$ $\overline{CD} \parallel \overline{FA},$ and the $y$ -coordinates of its vertices are distinct elements of the set $\{0, 2, 4, 6, 8, 10\}.$ The area of the hexagon can be written in the form $m\sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are positive integers and $n$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:geometría analítica vector simetría

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Los lados opuestos son paralelos, de igual longitud, y recorridos en direcciones opuestas, así que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{ED},$ $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{FE},$ $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AF}:$ el hexágono es centralmente simétrico, y las coordenadas $y$ de los vértices opuestos comparten una suma común, a saber $\frac{0 + 2 + \cdots + 10}{3} = 10.$ De $y_A = 0$ y $y_B = 2$ obtenemos $y_D = 10,$ $y_E = 8,$ y la convexidad da $y_C = 6,$ $y_F = 4.$ Escribe $\overrightarrow{AB} = (b, 2),$ $\overrightarrow{BC} = (p, 4),$ $\overrightarrow{CD} = (q, 4).$ Las longitudes iguales de los lados dan $s^2 = b^2 + 4$ $= p^2 + 16$ $= q^2 + 16,$ así que $p = \pm q;$ como $p = q$ haría que $B,$ $C,$ $D$ fueran colineales, $p = -q.$

Como $\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{CD},$ tenemos $F = (q, 4),$ y $\angle FAB = 120^\circ$ da $\begin{aligned} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AF} &= bq + 8 \\ &= -\frac{s^2}{2} = -\frac{b^2 + 4}{2}. \end{aligned}$ Tomar $b \gt 0$ obliga a $q \lt 0,$ así que $q = -\sqrt{b^2 - 12},$ y la ecuación se convierte en $b\sqrt{b^2 - 12} = \frac{b^2 + 20}{2}.$ Elevar al cuadrado da $3b^4 - 88b^2 - 400 = 0,$ así que $b^2 = \frac{100}{3},$ lo que da $b = \frac{10}{\sqrt{3}},$ $q = -\frac{8}{\sqrt{3}},$ $p = \frac{8}{\sqrt{3}}.$

Los vértices son $A = (0, 0),$ $B = \left(\frac{10}{\sqrt{3}}, 2\right),$ $C = (6\sqrt{3}, 6),$ $D = \left(\frac{10}{\sqrt{3}}, 10\right),$ $E = (0, 8),$ $F = \left(-\frac{8}{\sqrt{3}}, 4\right).$ El hexágono se divide en el paralelogramo $ABDE,$ con lado vertical $AE = 8$ y desplazamiento horizontal $b$ (área $8b$ ), más los dos triángulos congruentes $BCD$ y $EFA,$ cada uno con base vertical $8$ y altura horizontal $\frac{8}{\sqrt{3}}.$ El área total es $\begin{aligned} &8 \cdot \frac{10}{\sqrt{3}} + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} \\ &= \frac{144}{\sqrt{3}} = 48\sqrt{3}, \end{aligned}$ así que $m + n = 48 + 3 = 51.$

Opposite sides are parallel, equal in length, and traversed in opposite directions, so $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{ED},$ $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{FE},$ $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AF}:$ the hexagon is centrally symmetric, and opposite vertices' $y$ -coordinates share a common sum, namely $\frac{0 + 2 + \cdots + 10}{3} = 10.$ From $y_A = 0$ and $y_B = 2$ we get $y_D = 10,$ $y_E = 8,$ and convexity puts $y_C = 6,$ $y_F = 4.$ Write $\overrightarrow{AB} = (b, 2),$ $\overrightarrow{BC} = (p, 4),$ $\overrightarrow{CD} = (q, 4).$ Equal side lengths give $s^2 = b^2 + 4$ $= p^2 + 16$ $= q^2 + 16,$ so $p = \pm q;$ since $p = q$ would make $B,$ $C,$ $D$ collinear, $p = -q.$

Since $\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{CD},$ we have $F = (q, 4),$ and $\angle FAB = 120^\circ$ gives $\begin{aligned} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AF} &= bq + 8 \\ &= -\frac{s^2}{2} = -\frac{b^2 + 4}{2}. \end{aligned}$ Taking $b \gt 0$ forces $q \lt 0,$ so $q = -\sqrt{b^2 - 12},$ and the equation becomes $b\sqrt{b^2 - 12} = \frac{b^2 + 20}{2}.$ Squaring yields $3b^4 - 88b^2 - 400 = 0,$ so $b^2 = \frac{100}{3},$ giving $b = \frac{10}{\sqrt{3}},$ $q = -\frac{8}{\sqrt{3}},$ $p = \frac{8}{\sqrt{3}}.$

The vertices are $A = (0, 0),$ $B = \left(\frac{10}{\sqrt{3}}, 2\right),$ $C = (6\sqrt{3}, 6),$ $D = \left(\frac{10}{\sqrt{3}}, 10\right),$ $E = (0, 8),$ $F = \left(-\frac{8}{\sqrt{3}}, 4\right).$ The hexagon splits into the parallelogram $ABDE,$ with vertical side $AE = 8$ and horizontal offset $b$ (area $8b$ ), plus the two congruent triangles $BCD$ and $EFA,$ each with vertical base $8$ and horizontal height $\frac{8}{\sqrt{3}}.$ The total area is $\begin{aligned} &8 \cdot \frac{10}{\sqrt{3}} + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} \\ &= \frac{144}{\sqrt{3}} = 48\sqrt{3}, \end{aligned}$ so $m + n = 48 + 3 = 51.$

15.

Sea $\begin{aligned} &P(x) = 24x^{24} \\ &\quad {}+ \sum_{j=1}^{23} (24 - j)\left(x^{24-j} + x^{24+j}\right). \end{aligned}$ Sean $z_1, z_2, \ldots, z_r$ los ceros distintos de $P(x),$ y sea $z_k^2 = a_k + b_k i$ para $k = 1, 2, \ldots, r,$ donde $i = \sqrt{-1},$ y $a_k$ y $b_k$ son números reales. Sea $\sum_{k=1}^{r} |b_k| = m + n\sqrt{p},$ donde $m,$ $n,$ y $p$ son enteros y $p$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $m + n + p.$

Let $\begin{aligned} &P(x) = 24x^{24} \\ &\quad {}+ \sum_{j=1}^{23} (24 - j)\left(x^{24-j} + x^{24+j}\right). \end{aligned}$ Let $z_1, z_2, \ldots, z_r$ be the distinct zeros of $P(x),$ and let $z_k^2 = a_k + b_k i$ for $k = 1, 2, \ldots, r,$ where $i = \sqrt{-1},$ and $a_k$ and $b_k$ are real numbers. Let $\sum_{k=1}^{r} |b_k| = m + n\sqrt{p},$ where $m,$ $n,$ and $p$ are integers and $p$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n + p.$

Respuesta

Conceptos:raíces de la unidad telescópica Teorema de De Moivre

Nivel de dificultad: 3160

Solución:

El coeficiente de $x^k$ en $P(x)$ es $24 - |24 - k|$ para $1 \le k \le 47,$ y los coeficientes consecutivos difieren en $+1$ hasta $x^{24}$ y en $-1$ después. Por lo tanto, multiplicar por $1 - x$ se telescopia: $\begin{aligned} &(1 - x)P(x) \\ &= (x + x^2 + \cdots + x^{24}) \\ &\quad {}- (x^{25} + \cdots + x^{48}) \\ &= (x + x^2 + \cdots + x^{24}) \\ &\quad {}\cdot (1 - x^{24}), \end{aligned}$ así que para $x \ne 1,$ $P(x) = x\left(\frac{x^{24} - 1}{x - 1}\right)^2.$

Por lo tanto, los ceros distintos de $P$ son $0$ junto con las raíces $24$ -ésimas de la unidad distintas de $1:$ $z_k = \cos 15k^\circ + i \sin 15k^\circ$ para $k = 1, \ldots, 23.$ El cero $0$ no aporta nada, y $z_k^2 = \cos 30k^\circ + i \sin 30k^\circ,$ así que $|b_k| = |\sin 30k^\circ|.$

A medida que $k$ va de $1$ a $12,$ los valores $|\sin 30k^\circ|$ son $\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0$ repetidos dos veces, sumando $4 + 2\sqrt{3};$ los términos para $k = 13, \ldots, 23$ repiten los de $k = 1, \ldots, 11$ y añaden otro $4 + 2\sqrt{3}.$ El total es $8 + 4\sqrt{3},$ así que $m + n + p = 8 + 4 + 3 = 15.$

The coefficient of $x^k$ in $P(x)$ is $24 - |24 - k|$ for $1 \le k \le 47,$ and consecutive coefficients differ by $+1$ up through $x^{24}$ and by $-1$ afterwards. Multiplying by $1 - x$ therefore telescopes: $\begin{aligned} &(1 - x)P(x) \\ &= (x + x^2 + \cdots + x^{24}) \\ &\quad {}- (x^{25} + \cdots + x^{48}) \\ &= (x + x^2 + \cdots + x^{24}) \\ &\quad {}\cdot (1 - x^{24}), \end{aligned}$ so for $x \ne 1,$ $P(x) = x\left(\frac{x^{24} - 1}{x - 1}\right)^2.$

The distinct zeros of $P$ are therefore $0$ together with the $24$ th roots of unity other than $1:$ $z_k = \cos 15k^\circ + i \sin 15k^\circ$ for $k = 1, \ldots, 23.$ The zero $0$ contributes nothing, and $z_k^2 = \cos 30k^\circ + i \sin 30k^\circ,$ so $|b_k| = |\sin 30k^\circ|.$

As $k$ runs from $1$ to $12,$ the values $|\sin 30k^\circ|$ are $\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0$ repeated twice, summing to $4 + 2\sqrt{3};$ the terms for $k = 13, \ldots, 23$ repeat those for $k = 1, \ldots, 11$ and add another $4 + 2\sqrt{3}.$ The total is $8 + 4\sqrt{3},$ so $m + n + p = 8 + 4 + 3 = 15.$