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2026 AIME I Problema 6

Intenta el Problema 6 del 2026 AIME I a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2026 AIME I, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

6.

El producto de todos los números reales positivos xx que satisfacen la ecuación xlog⁡2026x20=26x\sqrt[20]{x^{\log_{2026} x}} = 26x es un entero P.P. Halle el número de divisores enteros positivos de P.P.
The product of all positive real numbers xx satisfying the equation xlog⁡2026x20=26x\sqrt[20]{x^{\log_{2026} x}} = 26x is an integer P.P. Find the number of positive integer divisors of P.P.
Respuesta: 441
Conceptos:logaritmocuadráticaFórmulas de Vietaconteo de factores
Nivel de dificultad: 2300
Pista pequeña:
Sea t=log⁡2026xt = \log_{2026} x y tome log⁡2026\log_{2026} de ambos lados para obtener una cuadrática en tt
Set t=log⁡2026xt = \log_{2026} x and take log⁡2026\log_{2026} of both sides to get a quadratic in tt
Pista grande:
Las dos raíces satisfacen t1+t2=20,t_1 + t_2 = 20, así que el producto de las soluciones xx es 20262026 elevado a esa potencia; factorice 20262026
The two roots satisfy t1+t2=20,t_1 + t_2 = 20, so the product of the solutions xx is 20262026 raised to that power; factor 20262026
Solución:
Sea t=log⁡2026x.t = \log_{2026} x. Al tomar log⁡2026\log_{2026} de ambos lados de xlog⁡2026x20=26xx^{\frac{\log_{2026} x}{20}} = 26x se obtiene t220=log⁡202626+t,\frac{t^2}{20} = \log_{2026} 26 + t, es decir, t2−20t−20log⁡202626=0.t^2 - 20t - 20\log_{2026} 26 = 0. El discriminante 400+80log⁡202626400 + 80\log_{2026} 26 es positivo, así que hay dos raíces reales t1,t2,t_1, t_2, cada una de las cuales da una solución positiva válida x=2026t.x = 2026^{t}.
Por las fórmulas de Vieta t1+t2=20,t_1 + t_2 = 20, así que el producto de las soluciones es 2026t1⋅2026t2=202620.2026^{t_1} \cdot 2026^{t_2} = 2026^{20}. Como 2026=2⋅10132026 = 2 \cdot 1013 y 10131013 es primo, P=220⋅101320P = 2^{20} \cdot 1013^{20} tiene 21⋅21=44121 \cdot 21 = 441 divisores positivos.
Let t=log⁡2026x.t = \log_{2026} x. Taking log⁡2026\log_{2026} of both sides of xlog⁡2026x20=26xx^{\frac{\log_{2026} x}{20}} = 26x gives t220=log⁡202626+t,\frac{t^2}{20} = \log_{2026} 26 + t, that is t2−20t−20log⁡202626=0.t^2 - 20t - 20\log_{2026} 26 = 0. The discriminant 400+80log⁡202626400 + 80\log_{2026} 26 is positive, so there are two real roots t1,t2,t_1, t_2, each giving a valid positive solution x=2026t.x = 2026^{t}.
By Vieta’s formulas t1+t2=20,t_1 + t_2 = 20, so the product of the solutions is 2026t1⋅2026t2=202620.2026^{t_1} \cdot 2026^{t_2} = 2026^{20}. Since 2026=2⋅10132026 = 2 \cdot 1013 and 10131013 is prime, P=220⋅101320P = 2^{20} \cdot 1013^{20} has 21⋅21=44121 \cdot 21 = 441 positive divisors.
Problema 5#5
Examen completo
Problema 7#7

El Problema 6 en otros años

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