Question

El producto de todos los números reales positivos $x$ que satisfacen la ecuación $\sqrt[20]{x^{\log_{2026} x}} = 26x$ es un entero $P$ . Halle el número de divisores enteros positivos de $P$ .

The product of all positive real numbers $x$ satisfying the equation $\sqrt[20]{x^{\log_{2026} x}} = 26x$ is an integer $P.$ Find the number of positive integer divisors of $P.$

Respuesta

Solución:

Sea $t = \log_{2026} x.$ Tomando $\log_{2026}$ de ambos lados de $x^{(\log_{2026} x)/20} = 26x$ se obtiene $\frac{t^2}{20} = \log_{2026} 26 + t,$ es decir $t^2 - 20t - 20\log_{2026} 26 = 0.$ El discriminante $400 + 80\log_{2026} 26$ es positivo, así que hay dos raíces reales $t_1, t_2,$ cada una dando una solución positiva válida $x = 2026^{t}.$

Por las fórmulas de Vieta $t_1 + t_2 = 20,$ así que el producto de las soluciones es $2026^{t_1} \cdot 2026^{t_2} = 2026^{20}.$ Como $2026 = 2 \cdot 1013$ y $1013$ es primo, $P = 2^{20} \cdot 1013^{20}$ tiene $21 \cdot 21 = 441$ divisores positivos.

Let $t = \log_{2026} x.$ Taking $\log_{2026}$ of both sides of $x^{(\log_{2026} x)/20} = 26x$ gives $\frac{t^2}{20} = \log_{2026} 26 + t,$ that is $t^2 - 20t - 20\log_{2026} 26 = 0.$ The discriminant $400 + 80\log_{2026} 26$ is positive, so there are two real roots $t_1, t_2,$ each giving a valid positive solution $x = 2026^{t}.$

By Vieta's formulas $t_1 + t_2 = 20,$ so the product of the solutions is $2026^{t_1} \cdot 2026^{t_2} = 2026^{20}.$ Since $2026 = 2 \cdot 1013$ and $1013$ is prime, $P = 2^{20} \cdot 1013^{20}$ has $21 \cdot 21 = 441$ positive divisors.

2026 AIME I Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años