Question

¿Para cuántos pares ordenados $(x, y)$ de enteros se cumple que $0 \lt x \lt y \lt 10^6$ y que la media aritmética de $x$ y $y$ es exactamente $2$ mayor que la media geométrica de $x$ y $y$ ?

For how many ordered pairs $(x, y)$ of integers is it true that $0 \lt x \lt y \lt 10^6$ and that the arithmetic mean of $x$ and $y$ is exactly $2$ more than the geometric mean of $x$ and $y?$

Respuesta

Solución:

La condición es $\frac{x + y}{2} = \sqrt{xy} + 2,$ es decir, $x + y - 2\sqrt{xy} = 4,$ así que $(\sqrt{y} - \sqrt{x})^2 = 4$ y (como $y \gt x$ ) $\sqrt{y} - \sqrt{x} = 2.$ Nota que $\sqrt{xy} = \frac{x + y - 4}{2}$ es racional, por lo que $\sqrt{y} + \sqrt{x} = \frac{y - x}{\sqrt{y} - \sqrt{x}} = \frac{y - x}{2}$ también es racional, así que $\sqrt{x}$ y $\sqrt{y}$ son racionales, y una raíz cuadrada racional de un entero es un entero.

Por lo tanto, $x = a^2$ e $y = (a + 2)^2$ para un entero positivo $a.$ La restricción $y \lt 10^6$ significa $a + 2 \le 999,$ así que $a$ recorre $1, 2, \ldots, 997,$ y cada valor da un par válido.

Por lo tanto, hay $997$ pares ordenados.

The condition is $\frac{x + y}{2} = \sqrt{xy} + 2,$ that is, $x + y - 2\sqrt{xy} = 4,$ so $(\sqrt{y} - \sqrt{x})^2 = 4$ and (as $y \gt x$ ) $\sqrt{y} - \sqrt{x} = 2.$ Note $\sqrt{xy} = \frac{x + y - 4}{2}$ is rational, hence $\sqrt{y} + \sqrt{x} = \frac{y - x}{\sqrt{y} - \sqrt{x}} = \frac{y - x}{2}$ is rational too, so $\sqrt{x}$ and $\sqrt{y}$ are rational — and a rational square root of an integer is an integer.

Therefore $x = a^2$ and $y = (a + 2)^2$ for a positive integer $a.$ The constraint $y \lt 10^6$ means $a + 2 \le 999,$ so $a$ ranges over $1, 2, \ldots, 997,$ and each value gives a valid pair.

Hence there are $997$ ordered pairs.

2000 AIME I Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años