Solución:

El bloque $\{1000N, \ldots, 1000N + 999\}$ se salta todos los cuadrados exactamente cuando dos cuadrados consecutivos $x^2$ y $(x+1)^2$ lo sobrepasan, lo que requiere $(x+1)^2 - x^2 = 2x + 1 \gt 1000,$ así que $x \ge 500.$ En particular, todo bloque por debajo de $500^2 = 250000$ contiene un cuadrado, de modo que buscamos a partir de ahí.

Escribe $x = 500 + a$ con $a \ge 0.$ Entonces $x^2 = 1000(250 + a) + a^2,$ así que mientras $a^2 \lt 1000$ (es decir, $a \le 31$), el cuadrado $x^2$ cae en el bloque $250 + a;$ estos cubren los bloques $250$ hasta $281.$ El bloque $251 + a$ se salta exactamente cuando $$\begin{aligned} (x+1)^2 &= 1000(250 + a) + a^2 \\ &\quad {}+ 2a + 1001 \\ &\ge 1000(252 + a), \end{aligned}$$ es decir, $a^2 + 2a \ge 999.$ Para $a \le 30$ esto falla (así que $(x+1)^2$ cae en el bloque $251 + a$), y se cumple por primera vez en $a = 31,$ ya que $961 + 62 = 1023.$

En efecto, $531^2 = 281961$ y $532^2 = 283024$ quedan a ambos lados del bloque que empieza en $282000.$ El menor $N$ de este tipo es $251 + 31 = 282.$