Question

Halla el menor entero positivo $N$ tal que el conjunto de $1000$ enteros consecutivos que comienza en $1000 \cdot N$ no contenga ningún cuadrado de un entero.

Find the least positive integer $N$ such that the set of $1000$ consecutive integers beginning with $1000 \cdot N$ contains no square of an integer.

Respuesta

Respuesta: 282

Conceptos:cuadrado perfecto desigualdad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2430

Pista pequeña:

Los cuadrados consecutivos difieren en $2x + 1,$ así que un bloque de $1000$ enteros solo puede saltarse una vez que $x \ge 500$ .

Consecutive squares differ by $2x + 1,$ so a block of $1000$ integers can be skipped only once $x \ge 500$

Pista grande:

Escribe $x = 500 + a,$ de modo que $x^2 = 250000 + 1000a + a^2.$ Halla el menor $a$ con $a^2 + 2a + 1001 \ge 2000.$

Write $x = 500 + a,$ so $x^2 = 250000 + 1000a + a^2.$ Find the least $a$ with $a^2 + 2a + 1001 \ge 2000.$

Solución:

El bloque $\{1000N, \ldots, 1000N + 999\}$ no contiene ningún cuadrado exactamente cuando queda entre dos cuadrados consecutivos $x^2$ y $(x+1)^2,$ lo que requiere $(x+1)^2 - x^2 = 2x + 1 \gt 1000,$ así que $x \ge 500.$ En particular, todo bloque por debajo de $500^2 = 250000$ contiene un cuadrado, de modo que buscamos a partir de ahí.

Escribe $x = 500 + a$ con $a \ge 0.$ Entonces $x^2 = 1000(250 + a) + a^2,$ así que mientras $a^2 \lt 1000$ (es decir, $a \le 31$ ), el cuadrado $x^2$ cae en el bloque $250 + a;$ estos cubren los bloques $250$ hasta $281.$ El bloque $251 + a$ queda libre de cuadrados exactamente cuando $\begin{aligned} (x+1)^2 &= 1000(250 + a) + a^2 \\ &\quad {}+ 2a + 1001 \\ &\ge 1000(252 + a), \end{aligned}$ es decir, cuando $a^2 + 2a \ge 999.$ Para $a \le 30$ esto no se cumple (así que $(x+1)^2$ cae en el bloque $251 + a$ ), y se cumple por primera vez en $a = 31,$ ya que $961 + 62 = 1023.$

En efecto, $531^2 = 281961$ y $532^2 = 283024$ quedan a ambos lados del bloque que empieza en $282000.$ El menor $N$ de este tipo es $251 + 31 = 282.$

The block $\{1000N, \ldots, 1000N + 999\}$ misses all squares exactly when some consecutive squares $x^2$ and $(x+1)^2$ jump over it, which requires $(x+1)^2 - x^2 = 2x + 1 \gt 1000,$ so $x \ge 500.$ In particular every block below $500^2 = 250000$ contains a square, so we search from there.

Write $x = 500 + a$ with $a \ge 0.$ Then $x^2 = 1000(250 + a) + a^2,$ so as long as $a^2 \lt 1000$ (that is, $a \le 31$ ), the square $x^2$ lies in block $250 + a;$ these cover blocks $250$ through $281.$ Block $251 + a$ is skipped exactly when $\begin{aligned} (x+1)^2 &= 1000(250 + a) + a^2 \\ &\quad {}+ 2a + 1001 \\ &\ge 1000(252 + a), \end{aligned}$ that is, $a^2 + 2a \ge 999.$ For $a \le 30$ this fails (so $(x+1)^2$ lands in block $251 + a$ ), and it first holds at $a = 31,$ since $961 + 62 = 1023.$

Indeed $531^2 = 281961$ and $532^2 = 283024$ straddle the block starting at $282000.$ The least such $N$ is $251 + 31 = 282.$

2013 AIME II Problema 6

Respuesta: 282

Nivel de dificultad: 2430

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años