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2008 AIME II Problema 6

Intenta el Problema 6 del 2008 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2008 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

6.

La sucesión {an}\{a_n\} se define por a0=1,a1=1,an=an−1+an−12an−2(n≥2). \begin{aligned} a_0 &= 1, \\ a_1 &= 1, \\ a_n &= a_{n-1} + \frac{a_{n-1}^2}{a_{n-2}} \quad (n \ge 2). \end{aligned}
La sucesión {bn}\{b_n\} se define por b0=1,b1=3,bn=bn−1+bn−12bn−2(n≥2). \begin{aligned} b_0 &= 1, \\ b_1 &= 3, \\ b_n &= b_{n-1} + \frac{b_{n-1}^2}{b_{n-2}} \quad (n \ge 2). \end{aligned}
Halla b32a32.\frac{b_{32}}{a_{32}}.
The sequence {an}\{a_n\} is defined by a0=1,a1=1,an=an−1+an−12an−2(n≥2). \begin{aligned} a_0 &= 1, \\ a_1 &= 1, \\ a_n &= a_{n-1} + \frac{a_{n-1}^2}{a_{n-2}} \quad (n \ge 2). \end{aligned}
The sequence {bn}\{b_n\} is defined by b0=1,b1=3,bn=bn−1+bn−12bn−2(n≥2). \begin{aligned} b_0 &= 1, \\ b_1 &= 3, \\ b_n &= b_{n-1} + \frac{b_{n-1}^2}{b_{n-2}} \quad (n \ge 2). \end{aligned}
Find b32a32.\frac{b_{32}}{a_{32}}.
Respuesta: 561
Conceptos:recursiónfactorialtelescópica
Nivel de dificultad: 2460
Pista pequeña:
Divide la recurrencia entre an−1a_{n-1} para ver que el cociente anan−1\frac{a_n}{a_{n-1}} aumenta exactamente en 11 en cada paso
Divide the recurrence by an−1a_{n-1} to see that the ratio anan−1\frac{a_n}{a_{n-1}} increases by exactly 11 at each step
Pista grande:
Los cocientes dan an=n!a_n = n! y bn=(n+2)!2;b_n = \frac{(n+2)!}{2}; forma el cociente
The ratios give an=n!a_n = n! and bn=(n+2)!2;b_n = \frac{(n+2)!}{2}; form the quotient
Solución:
Dividir la recurrencia entre an−1a_{n-1} da anan−1=1+an−1an−2,\frac{a_n}{a_{n-1}} = 1 + \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}, así que el cociente de términos consecutivos aumenta exactamente en 11 en cada paso. Para {an}\{a_n\} el primer cociente es a1a0=1,\frac{a_1}{a_0} = 1, así que anan−1=n\frac{a_n}{a_{n-1}} = n y an=n!.a_n = n!. El mismo cálculo se aplica a {bn},\{b_n\}, cuyo primer cociente es b1b0=3,\frac{b_1}{b_0} = 3, así que bnbn−1=n+2\frac{b_n}{b_{n-1}} = n + 2 y bn=(n+2)!2.b_n = \frac{(n+2)!}{2}.
Por lo tanto b32a32=34!232!=34⋅332=561.\frac{b_{32}}{a_{32}} = \frac{\frac{34!}{2}}{32!} = \frac{34 \cdot 33}{2} = 561.
Dividing the recurrence by an−1a_{n-1} gives anan−1=1+an−1an−2,\frac{a_n}{a_{n-1}} = 1 + \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}, so the consecutive-term ratio increases by exactly 11 each step. For {an}\{a_n\} the first ratio is a1a0=1,\frac{a_1}{a_0} = 1, so anan−1=n\frac{a_n}{a_{n-1}} = n and an=n!.a_n = n!. The same computation applies to {bn},\{b_n\}, whose first ratio is b1b0=3,\frac{b_1}{b_0} = 3, so bnbn−1=n+2\frac{b_n}{b_{n-1}} = n + 2 and bn=(n+2)!2.b_n = \frac{(n+2)!}{2}.
Therefore b32a32=34!232!=34⋅332=561.\frac{b_{32}}{a_{32}} = \frac{\frac{34!}{2}}{32!} = \frac{34 \cdot 33}{2} = 561.
Problema 5#5
Examen completo
Problema 7#7

El Problema 6 en otros años

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