Question

Un tronco cilíndrico tiene diámetro $12$ pulgadas. Se corta una cuña del tronco haciendo dos cortes planos que atraviesan por completo el tronco. El primero es perpendicular al eje del cilindro, y el plano del segundo corte forma un ángulo de $45^\circ$ con el plano del primer corte. La intersección de estos dos planos tiene exactamente un punto en común con el tronco. El número de pulgadas cúbicas de la cuña puede expresarse como $n\pi,$ donde $n$ es un entero positivo. Halla $n.$

A cylindrical log has diameter $12$ inches. A wedge is cut from the log by making two planar cuts that go entirely through the log. The first is perpendicular to the axis of the cylinder, and the plane of the second cut forms a $45^\circ$ angle with the plane of the first cut. The intersection of these two planes has exactly one point in common with the log. The number of cubic inches in the wedge can be expressed as $n\pi,$ where $n$ is a positive integer. Find $n.$

Respuesta

Solución:

Toma el primer corte como horizontal. La recta donde se encuentran los dos planos de corte toca el tronco en exactamente un punto, así que es tangente a la sección transversal circular de radio $6.$ Por lo tanto, la cuña se sitúa sobre todo el disco: su altura es $0$ en el punto de tangencia y, como el segundo corte está a $45^\circ,$ crece linealmente hasta $12$ en el punto diametralmente opuesto.

Empareja cada punto del disco con su imagen reflejada a través del centro: las alturas de la cuña sobre los dos puntos suman exactamente $12.$ Así, dos copias de la cuña se ensamblan en un cilindro de radio $6$ y altura $12,$ y el volumen de la cuña es $\frac{1}{2}\,\pi \cdot 6^2 \cdot 12 = 216\pi.$ Así $n = 216.$

Take the first cut as horizontal. The line where the two cutting planes meet touches the log at exactly one point, so it is tangent to the circular cross-section of radius $6.$ The wedge therefore stands over the entire disk: its height is $0$ at the tangent point and, because the second cut is at $45^\circ,$ it rises linearly to $12$ at the diametrically opposite point.

Pair each point of the disk with its mirror image through the center: the wedge's heights over the two points add to exactly $12.$ So two copies of the wedge fit together into a cylinder of radius $6$ and height $12,$ and the wedge's volume is $\frac{1}{2}\,\pi \cdot 6^2 \cdot 12 = 216\pi.$ Thus $n = 216.$

2003 AIME II Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años