Question

Dado que $A_k = \frac{k(k - 1)}{2}\cos\frac{k(k - 1)\pi}{2}$ , halla $|A_{19} + A_{20} + \cdots + A_{98}|$ .

Given that $A_k = \frac{k(k - 1)}{2}\cos\frac{k(k - 1)\pi}{2},$ find $|A_{19} + A_{20} + \cdots + A_{98}|.$

Respuesta

Solución:

Como $k(k-1)$ es par, $n_k = \frac{k(k-1)}{2}$ es un entero y $\cos\frac{k(k-1)\pi}{2}$ $= \cos(n_k \pi)$ $= (-1)^{n_k}$ . La paridad del número triangular $n_k$ depende solo de $k \bmod 4$ : es par para $k \equiv 0, 1 \pmod 4$ e impar para $k \equiv 2, 3 \pmod 4$ . Así que $A_k = n_k$ cuando $k \equiv 0, 1 \pmod 4$ y $A_k = -n_k$ cuando $k \equiv 2, 3 \pmod 4$ .

Agrupa los $80$ términos en $20$ bloques consecutivos de cuatro empezando en $k = 19 \equiv 3 \pmod 4$ . Usando $n_{j+1} - n_j = j$ , cada bloque con $k \equiv 3 \pmod 4$ se simplifica: $\begin{aligned} &A_k + A_{k+1} \\ &\quad {}+ A_{k+2} + A_{k+3} \\ &= (n_{k+1} - n_k) \\ &\quad {}- (n_{k+3} - n_{k+2}) \\ &= k - (k + 2) \\ &= -2. \end{aligned}$

El total es $20 \cdot (-2) = -40$ , así que el valor absoluto pedido es $40$ .

Since $k(k-1)$ is even, $n_k = \frac{k(k-1)}{2}$ is an integer and $\cos\frac{k(k-1)\pi}{2}$ $= \cos(n_k \pi)$ $= (-1)^{n_k}.$ The parity of the triangular number $n_k$ depends only on $k \bmod 4:$ it is even for $k \equiv 0, 1 \pmod 4$ and odd for $k \equiv 2, 3 \pmod 4.$ So $A_k = n_k$ when $k \equiv 0, 1 \pmod 4$ and $A_k = -n_k$ when $k \equiv 2, 3 \pmod 4.$

Group the $80$ terms into $20$ consecutive blocks of four starting at $k = 19 \equiv 3 \pmod 4.$ Using $n_{j+1} - n_j = j,$ each block with $k \equiv 3 \pmod 4$ collapses: $\begin{aligned} &A_k + A_{k+1} \\ &\quad {}+ A_{k+2} + A_{k+3} \\ &= (n_{k+1} - n_k) \\ &\quad {}- (n_{k+3} - n_{k+2}) \\ &= k - (k + 2) \\ &= -2. \end{aligned}$

The total is $20 \cdot (-2) = -40,$ so the requested absolute value is $40.$

1998 AIME Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años