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2016 AIME II Problema 5

Intenta el Problema 5 del 2016 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2016 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

5.

El triángulo ABC0ABC_0 tiene un ángulo recto en C0.C_0. Sus longitudes de lados son enteros positivos primos entre sí dos a dos, y su perímetro es p.p. Sea C1C_1 el pie de la altura a AB‾,\overline{AB}, y para n≥2,n \ge 2, sea CnC_n el pie de la altura a Cn−2B‾\overline{C_{n-2}B} en △Cn−2Cn−1B.\triangle C_{n-2}C_{n-1}B. La suma ∑n=1∞Cn−1Cn=6p.\sum_{n=1}^{\infty} C_{n-1}C_n = 6p. Halla p.p.
Triangle ABC0ABC_0 has a right angle at C0.C_0. Its side lengths are pairwise relatively prime positive integers, and its perimeter is p.p. Let C1C_1 be the foot of the altitude to AB‾,\overline{AB}, and for n≥2,n \ge 2, let CnC_n be the foot of the altitude to Cn−2B‾\overline{C_{n-2}B} in △Cn−2Cn−1B.\triangle C_{n-2}C_{n-1}B. The sum ∑n=1∞Cn−1Cn=6p.\sum_{n=1}^{\infty} C_{n-1}C_n = 6p. Find p.p.
Respuesta: 182
Conceptos:semejanzasucesión geométricaTerna pitagórica
Nivel de dificultad: 2560
Pista pequeña:
Cada nueva altura crea un triángulo semejante al anterior, así que las longitudes Cn−1CnC_{n-1}C_n forman una serie geométrica
Each new altitude creates a triangle similar to the one before, so the lengths Cn−1CnC_{n-1}C_n form a geometric series
Pista grande:
Con catetos a=BC0,a = BC_0, b=AC0,b = AC_0, hipotenusa c,c, la serie suma abc−a.\frac{ab}{c - a}. Factoriza b2=(c−a)(c+a)b^2 = (c - a)(c + a) para simplificar.
With legs a=BC0,a = BC_0, b=AC0,b = AC_0, hypotenuse c,c, the series sums to abc−a.\frac{ab}{c - a}. Factor b2=(c−a)(c+a)b^2 = (c - a)(c + a) to simplify.
Solución:
Sean a=BC0,a = BC_0, b=AC0,b = AC_0, y c=AB.c = AB. La altura da C0C1=abc,C_0C_1 = \frac{ab}{c}, y △C0C1B∼△AC0B\triangle C_0C_1B \sim \triangle AC_0B con razón ac.\frac{a}{c}. Cada altura posterior repite esta construcción en un triángulo reducido por ac,\frac{a}{c}, así que los segmentos Cn−1CnC_{n-1}C_n forman una serie geométrica y ∑n=1∞Cn−1Cn=abc1−ac=abc−a=6p=6(a+b+c). \begin{aligned} &\sum_{n=1}^{\infty} C_{n-1}C_n \\ &= \frac{\frac{ab}{c}}{1 - \frac{a}{c}} \\ &= \frac{ab}{c - a} \\ &= 6p = 6(a + b + c). \end{aligned}
Como b2=c2−a2=(c−a)(c+a),b^2 = c^2 - a^2 = (c - a)(c + a), obtenemos (c−a)⋅(a+b+c)=(c−a)(c+a)+(c−a)b=b(b+c−a), \begin{aligned} &(c - a) \\ &\quad {}\cdot (a + b + c) \\ &= (c - a)(c + a) \\ &\quad {}+ (c - a)b \\ &= b(b + c - a), \end{aligned} así que ab=6b(b+c−a),ab = 6b(b + c - a), es decir 7a=6b+6c.7a = 6b + 6c. Elevar al cuadrado 6c=7a−6b6c = 7a - 6b y usar 36c2=36a2+36b236c^2 = 36a^2 + 36b^2 da 36a2=49a2−84ab,36a^2 = 49a^2 - 84ab, por tanto 13a=84b.13a = 84b.
Como las longitudes de los lados son primas entre sí dos a dos, a=84a = 84 y b=13,b = 13, así que c=7⋅84−6⋅136=85,c = \frac{7 \cdot 84 - 6 \cdot 13}{6} = 85, y en efecto 132+842=852.13^2 + 84^2 = 85^2. Entonces p=84+13+85=182p = 84 + 13 + 85 = 182 (y abc−a=84⋅131=1092=6p\frac{ab}{c - a} = \frac{84 \cdot 13}{1} = 1092 = 6p se comprueba).
Let a=BC0,a = BC_0, b=AC0,b = AC_0, and c=AB.c = AB. The altitude gives C0C1=abc,C_0C_1 = \frac{ab}{c}, and △C0C1B∼△AC0B\triangle C_0C_1B \sim \triangle AC_0B with ratio ac.\frac{a}{c}. Each later altitude repeats this construction in a triangle scaled by ac,\frac{a}{c}, so the segments Cn−1CnC_{n-1}C_n form a geometric series and ∑n=1∞Cn−1Cn=abc1−ac=abc−a=6p=6(a+b+c). \begin{aligned} &\sum_{n=1}^{\infty} C_{n-1}C_n \\ &= \frac{\frac{ab}{c}}{1 - \frac{a}{c}} \\ &= \frac{ab}{c - a} \\ &= 6p = 6(a + b + c). \end{aligned}
Since b2=c2−a2=(c−a)(c+a),b^2 = c^2 - a^2 = (c - a)(c + a), we get (c−a)⋅(a+b+c)=(c−a)(c+a)+(c−a)b=b(b+c−a), \begin{aligned} &(c - a) \\ &\quad {}\cdot (a + b + c) \\ &= (c - a)(c + a) \\ &\quad {}+ (c - a)b \\ &= b(b + c - a), \end{aligned} so ab=6b(b+c−a),ab = 6b(b + c - a), that is 7a=6b+6c.7a = 6b + 6c. Squaring 6c=7a−6b6c = 7a - 6b and using 36c2=36a2+36b236c^2 = 36a^2 + 36b^2 gives 36a2=49a2−84ab,36a^2 = 49a^2 - 84ab, hence 13a=84b.13a = 84b.
Because the side lengths are pairwise relatively prime, a=84a = 84 and b=13,b = 13, so c=7⋅84−6⋅136=85,c = \frac{7 \cdot 84 - 6 \cdot 13}{6} = 85, and indeed 132+842=852.13^2 + 84^2 = 85^2. Then p=84+13+85=182p = 84 + 13 + 85 = 182 (and abc−a=84⋅131=1092=6p\frac{ab}{c - a} = \frac{84 \cdot 13}{1} = 1092 = 6p checks).
Problema 4#4
Examen completo
Problema 6#6

El Problema 5 en otros años

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