Question

Para $k=-10,$ $-9,$ $-8,$ $\ldots,$ $9,$ $10,$ se dibujan en el plano cartesiano las gráficas de las ecuaciones $\begin{aligned}y&=k,\\y&=\sqrt3x+2k,\\y&=-\sqrt3x+2k.\end{aligned}$ Estas $63$ rectas dividen parte del plano en triángulos equiláteros de lado $\frac{2}{\sqrt3}.$ ¿Cuántos de esos triángulos se forman?

The graphs of the equations $\begin{aligned}y&=k,\\y&=\sqrt3x+2k,\\y&=-\sqrt3x+2k,\end{aligned}$ are drawn in the coordinate plane for $k=-10,$ $-9,$ $-8,$ $\ldots,$ $9,$ $10.$ These $63$ lines cut part of the plane into equilateral triangles of side $\frac{2}{\sqrt3}.$ How many such triangles are formed?

Respuesta

Respuesta: 660

Conceptos:triángulo equilátero conteo de regiones conteo de pares

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Indexa una recta de cada familia mediante $i,j,k$ en $[-10,10]$

Index one line from each family by $i,j,k$ in $[-10,10]$

Pista grande:

Una celda triangular mínima aparece exactamente cuando $i=j+k+1$ o $i=j+k-1$

A smallest triangular cell occurs precisely when $i=j+k+1$ or $i=j+k-1$

Solución:

Una celda triangular unitaria queda determinada por índices $i,j,k\in[-10,10]$ que satisfacen $i=j+k\pm1.$ Para el signo más, $-11\leq j+k\leq9.$ Hay $21-|s|$ pares ordenados $(j,k)$ cuya suma es $s,$ así que esta orientación aporta $\sum_{s=-11}^{9}(21-|s|)=330.$ Por simetría, la otra orientación también aporta $330,$ para un total de $660.$

A unit triangular cell is determined by indices $i,j,k\in[-10,10]$ satisfying $i=j+k\pm1.$ For the plus sign, $-11\leq j+k\leq9.$ There are $21-|s|$ ordered pairs $(j,k)$ with sum $s,$ so this orientation contributes $\sum_{s=-11}^{9}(21-|s|)=330.$ By symmetry the other orientation also contributes $330,$ for a total of $660.$

1994 AIME Problema 6

Respuesta: 660

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años