Question

Como muestra la figura, el triángulo $ABC$ está dividido en seis triángulos más pequeños por rectas trazadas desde los vértices y que pasan por un mismo punto interior. Se indican las áreas de cuatro de ellos. Halla el área del triángulo $ABC.$

As shown in the figure, triangle $ABC$ is divided into six smaller triangles by lines drawn from the vertices through a common interior point. The areas of four of these triangles are as indicated. Find the area of triangle $ABC.$

Respuesta

Respuesta: 315

Conceptos:área del triángulo razón de áreas Teorema de Ceva

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Llama $x$ al área no rotulada de la parte superior derecha y $y$ a la de la parte superior izquierda

Call the upper-right unlabeled area $x$ and the upper-left unlabeled area $y$

Pista grande:

Usa razones de áreas de triángulos con la misma altura, junto con el teorema de Ceva

Use equal-altitude area ratios along the sides, together with Ceva’s theorem

Solución:

Sean $x$ y $y,$ respectivamente, las áreas no rotuladas de la parte superior derecha e izquierda. Las tres razones en que se dividen los lados y el teorema de Ceva dan $\frac43\cdot\frac{35}{x}\cdot\frac{84}{y}=1,$ por lo que $xy=3920.$

La ceviana desde $A$ corta a $BC.$ La razón de los dos segmentos de $BC$ es $\frac{35}{x}.$ Al calcular la misma razón mediante los dos triángulos grandes con vértice $A,$ se obtiene $\frac{35}{x}=\frac{40+30+35}{x+y+84},$ de modo que $y+84=2x.$ Al resolver junto con $xy=3920,$ se obtiene $x=70$ y $y=56.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} [ABC]&=84+70+35\\ &\quad{}+30+40+56=315. \end{aligned}$

Let the unlabeled upper-right and upper-left areas be $x$ and $y,$ respectively. The three side-division ratios and Ceva’s theorem give $\frac43\cdot\frac{35}{x}\cdot\frac{84}{y}=1,$ so $xy=3920.$

The cevian from $A$ meets $BC.$ The ratio of the two segments of $BC$ is $\frac{35}{x}.$ Computing the same ratio from the two large triangles with vertex $A$ gives $\frac{35}{x}=\frac{40+30+35}{x+y+84},$ so $y+84=2x.$ Solving with $xy=3920$ yields $x=70$ and $y=56.$ Therefore $\begin{aligned} [ABC]&=84+70+35\\ &\quad{}+30+40+56=315. \end{aligned}$

1985 AIME Problema 6

Respuesta: 315

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años