Question

Sea $[r,s]$ el mínimo común múltiplo de los enteros positivos $r$ y $s.$ Halla la cantidad de ternas ordenadas $(a,b,c)$ para las cuales $[a,b]=1000,$ $[b,c]=2000,$ y $[c,a]=2000.$

Let $[r,s]$ denote the least common multiple of positive integers $r,$ $s.$ Find the number of ordered triples $(a,b,c)$ for which $[a,b]=1000,$ $[b,c]=2000,$ and $[c,a]=2000.$

Respuesta

Respuesta: 70

Conceptos:mínimo común múltiplo factorización en primos principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Considera por separado los exponentes de $2$ y $5$

Treat the exponents of $2$ and $5$ independently

Pista grande:

Para cada primo, convierte cada mínimo común múltiplo en una condición sobre máximos por parejas

For each prime, translate every least common multiple into a condition on pairwise maxima

Solución:

Para el exponente de $5,$ los tres máximos por parejas son iguales a $3.$ Por tanto, al menos dos exponentes son $3:$ hay una terna cuyos tres exponentes son $3$ y $3\cdot3$ ternas con exactamente dos exponentes iguales a $3$ , para un total de $10$ opciones.

Para el exponente de $2,$ la primera pareja tiene máximo $3$ , mientras que las otras dos tienen máximo $4.$ El exponente de $c$ debe ser $4,$ y los exponentes de $a$ y $b$ pertenecen a $\{0,1,2,3\}$ con máximo $3,$ lo que da $4^2-3^2=7$ opciones. La independencia da $10\cdot7=70.$

For the exponent of $5,$ all three pairwise maxima equal $3.$ Thus at least two exponents are $3:$ there is one all- $3$ triple and $3\cdot3$ triples with exactly two $3$ ’s, for $10$ choices.

For the exponent of $2,$ the first pair has maximum $3$ while the other two have maximum $4.$ The exponent of $c$ must be $4,$ and the exponents of $a$ and $b$ lie in $\{0,1,2,3\}$ with maximum $3,$ giving $4^2-3^2=7$ choices. Independence gives $10\cdot7=70.$

1987 AIME Problema 7

Respuesta: 70

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años