Question

Supón que las raíces de $x^3+3x^2+4x-11=0$ son $a,$ $b,$ y $c,$ y que las raíces de $x^3+rx^2+sx+t=0$ son $a+b,$ $b+c,$ y $c+a.$ Halla $t.$

Suppose that the roots of $x^3+3x^2+4x-11=0$ are $a,$ $b,$ and $c,$ and that the roots of $x^3+rx^2+sx+t=0$ are $a+b,$ $b+c,$ and $c+a.$ Find $t.$

Respuesta

Respuesta: 23

Conceptos:Fórmulas de Vieta polinomio simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Aplica las fórmulas de Vieta a la cúbica original

Use Vieta’s formulas on the original cubic

Pista grande:

Expande $(a+b)(b+c)(c+a)$ mediante sumas simétricas

Expand $(a+b)(b+c)(c+a)$ in symmetric sums

Solución:

Las fórmulas de Vieta dan $\begin{aligned}a+b+c&=-3,\\ab+bc+ca&=4,\\abc&=11.\end{aligned}$ Además, $\begin{gathered}(a+b)(b+c)(c+a)\\=(a+b+c)(ab+bc+ca)\\\quad-abc=-23.\end{gathered}$ Este es el producto de las raíces de la segunda cúbica mónica, por lo que su término constante es el opuesto de ese producto. Así, $t=23.$

Vieta’s formulas give $\begin{aligned}a+b+c&=-3,\\ab+bc+ca&=4,\\abc&=11.\end{aligned}$ Also, $\begin{gathered}(a+b)(b+c)(c+a)\\=(a+b+c)(ab+bc+ca)\\\quad-abc=-23.\end{gathered}$ This is the product of the roots of the second monic cubic, so its constant term is the negative of that product. Hence $t=23.$

1996 AIME Problema 5

Respuesta: 23

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 5 en otros años