Question

Sea $n$ el menor entero positivo que es múltiplo de $75$ y tiene exactamente $75$ divisores enteros positivos, incluidos $1$ y él mismo. Halla $\frac{n}{75}.$

Let $n$ be the smallest positive integer that is a multiple of $75$ and has exactly $75$ positive integral divisors, including $1$ and itself. Find $\frac{n}{75}.$

Respuesta

Respuesta: 432

Conceptos:conteo de factores factorización en primos optimización

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Descompón $75$ en posibles productos de números que sean uno más que los exponentes primos

Factor $75$ into possible products of numbers one greater than prime exponents

Pista grande:

El patrón de exponentes $(4,4,2)$ puede incluir los factores requeridos $3$ y $5^2$ , asignando los mayores exponentes a los menores primos

The exponent pattern $(4,4,2)$ can include the required factors $3$ and $5^2$ while assigning the largest exponents to the smallest primes

Solución:

Las particiones multiplicativas de $75$ dan los patrones de exponentes $(74),$ $(24,2),$ $(14,4),$ y $(4,4,2).$ Un número divisible por $75=3\cdot5^2$ necesita los dos primos $3$ y $5,$ así que el patrón de un solo primo es imposible. Los menores candidatos de los patrones de dos primos son $3^{24}5^2$ y $3^{14}5^4,$ respectivamente. El menor candidato con tres primos es $n=2^4\cdot3^4\cdot5^2.$ Tiene $(4+1)(4+1)(2+1)=75$ divisores, y cada candidato con dos primos es mayor porque $\frac{3^{24}5^2}{n}=\frac{3^{20}}{16}\gt1$ y $\frac{3^{14}5^4}{n}=\frac{3^{10}5^2}{16}\gt1.$ Por lo tanto, $\frac n{75}=\frac{2^4\cdot3^4\cdot5^2}{3\cdot5^2}=2^4\cdot3^3=432.$

The multiplicative partitions of $75$ give exponent patterns $(74),$ $(24,2),$ $(14,4),$ and $(4,4,2).$ A number divisible by $75=3\cdot5^2$ needs both primes $3$ and $5,$ so the one-prime pattern is impossible. The smallest candidates from the two-prime patterns are $3^{24}5^2$ and $3^{14}5^4,$ respectively. The smallest three-prime candidate is $n=2^4\cdot3^4\cdot5^2.$ It has $(4+1)(4+1)(2+1)=75$ divisors, and each two-prime candidate is larger because $\frac{3^{24}5^2}{n}=\frac{3^{20}}{16}\gt1$ and $\frac{3^{14}5^4}{n}=\frac{3^{10}5^2}{16}\gt1.$ Therefore $\frac n{75}=\frac{2^4\cdot3^4\cdot5^2}{3\cdot5^2}=2^4\cdot3^3=432.$

1990 AIME Problema 5

Respuesta: 432

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 5 en otros años